Сколькими разными способами можно составить график очередности ухода в отпуск 8 сотрудников

Опубликовано: 11.05.2024

За две недели до начала нового календарного года работодателям нужно успеть утвердить важный локальный нормативный акт — график отпусков. Отсутствие этого документа расценивается как административное правонарушение и влечет предупреждение или штраф. Разбираемся, какие особенности нужно учесть в графике отпусков на 2021 год и какие категории сотрудников вправе претендовать на отдых вне очереди.

Составление графика отпусков — обязанность всех работодателей, независимо от численности сотрудников в компании. Этот документ регламентирует очередность предоставления оплачиваемых отпусков в календарном году и содержит сведения о времени распределения отдыха сотрудников (ст. 123 ТК РФ). При его составлении учитываются пожелания сотрудников и особенности рабочего процесса. Успеть составить график отпусков работодатели должны к 17 декабря.

Особенности составления графика отпусков

Процедура составления графика отпусков может быть установлена в коллективном договоре, правилах внутреннего трудового распорядка или других локальных нормативных актах. Причем Роструд считает, что график отпусков в каждом структурном подразделении может быть свой. Особенно это актуально для больших компаний, в которых работают сотни или тысячи сотрудников. В этом случае подготовкой проектов графиков занимаются руководители подразделений, а затем передают документ кадровикам, которые со своей стороны формируют сводный единый график отпусков.

По принятому правилу в графике отпусков должна содержаться информация о времени и продолжительности отпуска каждого сотрудника, работающего по трудовому договору.

Как правило, продолжительность отпуска зависит от количества дней отпуска, на которые сотрудник имеет право, и от количества дней неиспользованного отпуска по состоянию на 1 января 2021 года.

При составлении графика отпусков не стоит забывать о новичках, которые на начало календарного года не отработали шести месяцев. Как мы знаем, право на использование отпуска за первый год работы возникает по истечении шести месяцев непрерывной работы у конкретного работодателя. Поэтому при составлении графика важно учесть, чтобы новички до конца 2020 года смогли воспользоваться положенными днями отдыха.

Продолжительность основного ежегодного отпуска для разных категорий работников

28 календарных дней (ст. 115 ТК РФ) — для всех работников, не отнесенных к льготным категориям;
31 календарный день (ст. 267 ТК РФ) — для работников до 18 лет;
30 календарных дней (Федеральный закон от 24.11.95 № 181-ФЗ) — для инвалидов;
30-40 суток (Федеральный закон от 22.08.95 № 151-ФЗ) — для работников спасательных служб (в зависимости от стажа непрерывной работы);
42-56 календарных дней (Федеральный закон от 07.11.2000 № 136-ФЗ; Постановление Правительства РФ от 14.05.2015 № 466) — для работников, занятых на работах с химическим оружием, отдельных категорий педагогических работников.

Есть несколько категорий работников, которые «выбиваются» из общего правила составления графика отпусков:

1. Сотрудники, которые вправе претендовать на оплачиваемый отпуск по заявлению до истечения шести месяцев непрерывной работы.

Такие сотрудники указаны в ст. 122 ТК РФ:

женщины — перед отпуском по беременности и родам или непосредственно после него;
работники моложе 18 лет;
работники, усыновившие ребенка в возрасте до 3-х месяцев.

Согласно ст. 123 ТК РФ, по желанию сотрудника ежегодный отпуск ему может быть предоставлен в период нахождения его жены в отпуске по беременности и родам, независимо от времени его непрерывной работы у работодателя.

Согласно ст. 286 ТК РФ отпуск совместителей предоставляется одновременно с отпуском по основному месту работы. Если на работе по совместительству работник не отработал шести месяцев, то отпуск предоставляется авансом.

Чтобы учесть эту категорию сотрудников в графике отпусков, запросите у них сведения о периоде отпуска по основному месту работы.

3. Многодетные сотрудники с детьми до 12 лет.

Федеральный закон от 11.10.2018 № 360-ФЗ дополнил Трудовой кодекс ст. 262.2. Теперь работодателям нужно учитывать, что родители 3-х и более детей в возрасте до 12 лет имеют право брать ежегодный оплачиваемый отпуск по своему желанию в удобное для них время.

В Письме Минтруда РФ от 20.11.2018 N 14-2/ООГ-9166 уточняется, что возраст детей рассчитывается на год предоставления отпуска. Это значит, что если на начало года предоставления отпуска многодетный сотрудник имел право использовать отпуск в удобное время, то это право за ним сохраняется даже в том случае, если на момент начала отпуска старшему ребенку уже исполнится 12 лет.

Автоматическое начисление зарплаты по каждому сотруднику — лишь подтвердите суммы. Расчет больничных и отпусков за несколько минут.

В обзоре актуальных вопросов за февраль 2019 года Роструд рассмотрел вопрос о том, может ли работник, имеющий троих детей в возрасте до 12 лет, брать отпуск в удобное время частями. По мнению экспертов, право на использование отпуска в удобное время не означает права на разделение отпуска на части по желанию работника. Такое разделение в соответствии со ст. 125 ТК РФ возможно только по соглашению сторон. При этом одна из частей отпуска должна быть не менее 14 календарных дней.

4. Ветераны, работники, награжденные нагрудным знаком «Почетный донор России», сотрудники, воспитывающие ребенка-инвалида в возрасте до 18 лет, супруги военнослужащих.

Все эти категории работников имеют право уйти в оплачиваемый отпуск в удобное для них время.

При составлении графика отпусков на 2021 год важно помнить, что нерабочие праздничные дни, которые указаны в ст. 112 ТК РФ, в число календарных дней ежегодного основного или дополнительного отпуска не входят. Поэтому если отпуск приходится на эти дни, срок его окончания переносится автоматически.

Кроме того, важно помнить и о переносе выходных дней в 2021 году (Постановление Правительства РФ от 10.10.2020 № 1648).

Как указывать дату начала отдыха в графике отпусков

Роструд считает, что указание в графике только месяца отпуска, без точных дат начала и окончания отдыха, неправомерно.

Эксперты рекомендуют вносить в форму для графика отпусков конкретные даты, чтобы избежать разногласий с работниками.

О праве переноса отпуска на следующий год

Вполне возможно, что при составлении графика отпусков на 2021 год какой-то работник направит к вам заявление с просьбой не предоставлять ему отпуск в следующем году, а перенести его на 2022 год. На эту просьбу нужно ответить отказом. Так советуют поступить эксперты Роструда.

Они ссылаются на то, что ежегодный оплачиваемый отпуск должен предоставляться каждый год. А если перенос и допускается, что только в исключительных ситуациях (ст. 124 ТК РФ), к которым относятся, например, производственная необходимость и временная нетрудоспособность работника.

Форма для графика отпусков

При оформлении графика отпусков можно использовать форму Т-7 (Постановление Госкомстата РФ от 06.04.2001 № 26). На этапе планирования отпусков следует заполнить графы с 1 по 6.

В графу 6 вносится дата начала отпуска сотрудников, в том числе тех, кто вправе брать отпуск в любое удобное для них время.

Графы 7, 8 и 9 не заполняются. Данные в них вносятся от руки в течение года, по мере ухода работников в отпуск.

Роструд рекомендует внести в форму дополнительную графу «с графиком ознакомлен» или составить лист ознакомления, который будет являться приложением к графику отпусков. Не стоит забывать о том, что согласно ст. 123 ТК РФ о времени начала отпуска каждый работник должен быть извещен не позднее чем за две недели до его начала.

До момента утверждения график отпусков является всего лишь проектом. После того, как его завизировали руководитель кадровой службы и руководители структурных подразделений, документ направляется в профсоюзную организацию (ст. 372 ТК РФ). Его подтверждение выражается в формате выписки из протокола заседания профсоюзного комитета. Но сегодня профсоюз есть далеко не в каждой компании. Тогда в форме в строке согласования нужно об этом сделать пометку.

С утвержденным графиком отпусков сотрудников необходимо ознакомить под роспись. Документ следует:

хранить в бухгалтерии и отделе кадров;
вывесить в удобном месте для ознакомления;
выслать в структурные подразделения компании (копии графика).

Если работодатель предупредил работника о наступлении отпуска позднее, чем за две недели до его начала, работник имеет право подать письменное заявление с требованием о переносе отпуска на другой согласованный срок. При этом он может не писать заявление на имя работодателя о предоставлении ему отпуска, если использует его в соответствии с графиком.

Есть несколько случаев, когда работник обязан подавать заявление о предоставлении отпуска:

отпуск используется ранее шести месяцев непрерывной работы у работодателя;
отпуск используется ранее шести месяцев непрерывной работы на основании соглашения с работодателем;
работник относится к одной из категорий, которым работодатель обязан предоставлять отпуск в удобное время.

Изменение графика отпусков

Поскольку график отпусков относится к обязательным документам не только для работодателя, но и для работника, то в случае внесения в него изменений требуется соглашение сторон.

Чтобы в форме Т-7 зафиксировать перенос отпусков в текущем календарном году, используются графы 7-9.

Графу 10 («примечания») следует использовать в следующих случаях:

когда отпуск или его части переносятся согласно причине, обозначенной в ч. 3 ст. 124 ТК РФ — предоставление отпуска может неблагоприятно отразиться на нормальном ходе работы организации;
когда отпуск или его части переносятся по причине, указанной в ч. 2 ст. 125 ТК РФ — отзыв из отпуска и перенос отпуска на следующий календарный год.

Добавление нового сотрудника в утвержденный график отпусков

Как правило, в течение года в компании появляются новые сотрудники. В связи с этим нередко возникает вопрос: что делать, если человек поступил на работу уже после утверждения графика отпусков?

Роструд опирается в этом вопросе на правоприменительную практику и приводит на своем официальном сайте два варианта:

внести изменения в сводный график отпусков;
составить дополнительный график и приобщить его к сводному.

Сотрудник будет уволен в январе. Нужно ли на него заполнять график отпусков?

В нем ведомство указало, что в график отпусков следует вносить всех работников, состоящих с организацией в трудовых отношениях на день утверждения графика. Это требование распространяется и на работников, с которыми в течение рабочего года будут расторгнуты трудовые договоры. Таким образом, нельзя не учитывать в графике отпусков работника, у которого уже в январе истечет срок трудового договора.

Штраф за отсутствие графика отпусков

Отсутствие графика отпусков является административным правонарушением, за совершение которого предусмотрены меры ответственности (ст. 5.27 КоАП РФ) — предупреждение или наложение административного штрафа:

на должностных лиц в размере от 1 000 до 5 000 руб.;
на предпринимателей — от 1 000 до 5 000 руб.;
на юрлиц — от 30 000 до 50 000 руб.

Не пропустите новые публикации

Подпишитесь на рассылку, и мы поможем вам разобраться в требованиях законодательства, подскажем, что делать в спорных ситуациях, и научим больше зарабатывать.

Сезон отпусков в самом разгаре, а значит, ваши сотрудники очень скоро начнут писать заявления на отпуск и разъедутся кто куда. В сегодняшней статье расскажем, как подготовиться к сезону отпусков, не попасть в ситуацию, когда некому работать и научим планировать бюджет. Начинаем!

Немного законодательства

Право на отдых регламентируется конституцией РФ, трудовым кодексом и другими нормативно-правовыми актами и законами. Минимальная продолжительность оплачиваемого ежегодного отпуска - 28 календарных дней. Больше - пожалуйста, меньше - нельзя. Дополнительные дни к отпуску полагаются отдельными категориям работников, занятых во вредных условиях труда. К интернет-магазину это не относится, поэтому касаться темы не будем.

Отпуск можно делить на несколько частей - это законно. Но есть одно условие: продолжительность одной части не может быть меньше 14 дней. То есть, половину положенного времени сотрудник должен отгулять подряд, а все остальное - на его усмотрение. Хоть по одному дню в течение последующего года может брать - законом это тоже не запрещено.

Право на очередной оплачиваемый отпуск появляется у сотрудника через 6 месяцев после трудоустройства. Но по прошествии полугода он заработает только 14 дней, а не 28. Полный отпуск можно будет брать только через 11 месяцев. Если во время отпуска сотрудник оформлял больничный лист, то время отдыха продляется на количество дней, которые он проболел. То же самое касается и праздничных нерабочих дней. Если они попали на отпуск - он также увеличивается.

Отпуска нужно правильно оформлять. Во-первых, сотрудник обязан написать соответствующее заявление. Его должен подписать непосредственный руководитель и сам работник. Это делается не позднее, чем за 2 недели до предполагаемой даты ухода в отпуск. На основании заявления издается приказ по организации. Сотрудника необходимо ознакомить с документом под роспись. Приказ подписывает руководитель или лицо, уполномоченное на это, например, заместители директора.

Пример заявления на отпуск

После этого бухгалтерия должна рассчитать сумму оплаты отпуска - так называемые отпускные. Сотрудник должен получить их не позднее, чем за три дня до того, как пойдет в отпуск. Отпускные считаются как среднее арифметическое заработных плат за последние 12 месяцев работы. После этого полученное число нужно разделить на 29,3 - так мы получим дневной заработок. (29,3 - среднее количество календарных дней в году)

Если сотрудник увольняется до того, как использовал отпуск, ему необходимо выплатить компенсацию за неиспользованный отпуск. Она рассчитывается по той же формуле. И последнее: отпуск - это не только право, но и обязанность. Нельзя не предоставлять его более 2 лет подряд.

Как правильно подготовиться к сезону отпусков

Составляйте график отпусков

Планирование - это основа основ, а с отпусками тем более. График позволяет распределить рабочие силы и спланировать бюджет. Здесь можно пойти двумя путями: составить график самостоятельно, без учета пожеланий работников, или учесть их предпочтения. На практике обычно делается так: у сотрудников спрашивают их пожелания и составляют предварительный график, а затем корректируют его так, чтобы устраивал все стороны. Но тут нужно проявить дипломатичность вкупе со строгостью: понятно, что все хотят гулять летом.

Опытные руководители вообще следуют принципу: если у меня в компании 12 человек, значит, в отпуске должен находиться 1 человек в месяц, вне зависимости от времени года. Но если можете позволить себе обойтись без нескольких сотрудников, нет смысла лишать их именно летнего отдыха. Очень часто делается так: если работник, в прошлом году, брал отпуск в летние месяцы, значит в этом отдыхает осенью или зимой и наоборот. Но учтите: есть категории работников, которым положен отпуск в любое удобное для них время, вне зависимости от графика или стажа работы в вашем интернет-магазине. Это родители детей-инвалидов, пострадавшие на Чернобыльской АЭС, почетные доноры, ветераны ВОВ и другие. Такие - вне графика. Если у вас есть сотрудники, работающие по совместительству, то закон требует от вас отпустить их в отпуск в то же время, когда они берут его на основной работе. У таких сотрудников тоже свой график, это нужно учитывать.

Образец графика отпусков

Утвержденный график отпусков нужно распечатать и дать сотрудникам на подпись. А еще лучше - развесить в отделах, чтобы сотрудники были в курсе. График составляется в конце каждого года на следующий. Лучше не тянуть до декабря, а решить этот вопрос уже в октябре-ноябре.

Планируйте бюджет

Как мы уже говорили, человеку, идущему в отпуск, положена средняя зарплата. А теперь представьте: у вас уходит несколько человек скопом, и всем им нужно разово выплатить отпускные. Суммы могут получиться внушительными, особенно, если вы платите полностью официальную и белую заработную плату. Одно дело, если бизнес работает сильно в плюс и на ваших счетах всегда есть резервы на этот случай. А вот когда финансы на пределе, это может стать проблемой. А если учесть то, что сотрудник в это время не приносит никакой прибыли, а деньги ему платить нужно, то это проблема вдвойне.

Чтобы не попасть впросак, нужно закладывать эти деньги в годовой бюджет - в фонд заработной платы. Попросите бухгалтерию сделать такой расчет - так вы не попадете в ситуацию, когда человек идет в отпуск, а платить ему нечем. Это особенно важно, когда помимо законных отпускных, вы платите еще и различные пособия. Закон не обязывает этого делать, но многие руководители идут сотрудникам навстречу и подкидывают им дополнительные бонусы к отпуску.

Структура фонда заработной платы

Не отпускайте взаимозаменяемых сотрудников одновременно

Вообще это нужно предусмотреть еще на этапе составления графика. Речь здесь вот о чем: например, у вас есть руководитель отдела продаж и старший менеджер. Они не должны уходить в отпуск в одно и то же время - так у вас провиснет целое направление. Придется брать эту работу на себя, или кому-то ее делегировать. Лучше этого избежать: сделать так, чтобы такие сотрудники гуляли в разное время.

Еще один момент: если один сотрудник заменяет другого на время его отсутствия, ему нужно организовать доплату. Это касается всех должностей, за исключением штатных заместителей. То есть, когда старший менеджер выполняет функции начальника отдела продаж, нужно ему доплатить. Размер доплаты законом не установлен - он определяется по соглашению сторон, как они договорятся. Обычно это разница в окладах: старший менеджер, заменяющий своего руководителя, должен получать зарплату начальника отдела. Но необязательно.

Просите сотрудников делить отпуска

Одно дело, когда человек отсутствует на рабочем месте целый месяц и совсем другое, если это всего лишь 2 недели. Поэтому целесообразно будет просить сотрудников делить отпуска и брать 2 недели, допустим, осенью и 2 недели летом. Да и с оплатой проще - нужно выплачивать отпускные не в полном размере, а частично.

В этом случае в графике каждый сотрудник будет встречаться 2 раза. Но здесь возможны накладки: вряд ли кто-то захочет брать обе половины отпуска в зимние месяцы.

Сдавайте и принимайте дела

Сотрудник уходит в отпуск? В последний день, пока он на работе, пройдитесь по его актуальным задачам, стоящим на повестке. Особенно это касается ключевых работников, на которых завязано множество вопросов. Пусть расскажут, какие вопросы в приоритете, что нужно разрулить и решить в первую очередь. Плохо, если какой-то вопрос повиснет на 2 недели или месяц.

Если задачи не срочные и могут дождаться человека, который предметно ими занимался, есть смысл подождать. А вот неотложные вопросы лучше перепоручить другому исполнителю. Назначьте ответственного работника - пусть тот, кто идет в отпуск введет его в курс дела. Эта простая хитрость позволит избежать многих неудобств.

Основные правила делегирования

Грамотно делегируйте полномочия

Продолжение предыдущего пункта. Работу отсутствующего сотрудника нужно равномерно распределить между остальными работниками. Если это простые менеджеры по продажам - будет проще: работа однотипная и шаблонная, можно без труда перепоручить ее кому угодно. С нестандартными задачами сложнее: часто выполнить их сможет только тот, кто с головой погружен в вопрос. Но и тут есть выход - выше мы писали об этом. Есть еще вариант - требовать от сотрудников перед отпуском закрывать важные задачи и не оставлять их на потом.

Буквально - доделай и иди в отпуск. Очень часто за пару дней до долгожданного отдыха, когда сотрудник уже “одной ногой там”, все начинают немного лениться - такого допускать нельзя. Напротив, перед отпуском сотрудник должен совершить рывок и закрыть текущие задачи.

Если уж совсем не получается, то, как минимум, вы должны знать о таких вещах и быть к ним готовым. Предупредите партнеров и контрагентов, что берете тайм-аут на пару недель, пока не вернется отсутствующий сотрудник. “У нас человек в отпуске” - не является уважительной причиной простоя. Бизнес должен быть построен так, чтобы все функционировало и без одного-двух человек. Если у вас есть незаменимые сотрудники - это плохо.

Просите сотрудников перенести отпуск на другое время

Крайняя мера, прибегать к которой следует только при острой необходимости, когда по-другому никак. Здесь главное все правильно и законно оформить. Учтите: сотрудник не обязан переносить отпуск - это его право. Поэтому перед тем, как вносить изменения в график, закон требует получить письменное согласие сотрудника. Оформляется от руки в свободной форме. Выглядит примерно так:

“Я (фамилия, имя и отчество сотрудника), согласен на перенос очередного оплачиваемого отпуска с июля 2019 года на другое время”. Дата, подпись.

Согласие пишется на имя руководителя организации. Но помните: после этого вы обязаны предоставить человеку отпуск уже в любое удобное для него время.

Пример заявления о переносе отпуска

После получения согласия можно оформлять приказ по организации - с ним работника тоже знакомят под роспись.

А еще сотрудника можно вызвать из отпуска

Но тоже только с его письменного согласия. Без него можно отзывать только для ликвидации последствий аварий, когда есть угроза жизни населению. К интернет-магазинам такое не относится, поэтому согласие придется получить. Кроме этого, требуется весомая причина отзыва: производственная необходимость, болезнь другого сотрудника и тому подобное. Отзыв из отпуска регламентируется статьей 125 ТК РФ.

Помните: сотрудник имеет право отказаться выходить - закон это позволяет. В целом вызов оформляется так же, как и перенос: получаете согласие и оформляете приказ, в котором сотрудник должен расписаться. Лучше, если появится служебная записка непосредственного руководителя. В документе он должен изложить причины ситуации и обосновать необходимость вызова сотрудника.

После этого человек имеет право отгулять отработанные дни в любое удобное время, или приплюсовать их к следующему отпуску.

Отзывать из отпуска можно не всех. Запрещается прерывать отдых у беременных женщин, лиц, не достигших 18-летия, а также работников вредных условий труда.

Заключение

Резюмируем: всегда проще и удобнее составить адекватный график отпусков, спланировать работы и распределить обязанности среди сотрудников, чем потом переносить отпуска и вызывать работников. Планируйте время отдыха, закрывайте задачи до отпуска и тогда проблем не будет. Удачи!

Если в последовательности нет одинаковых элементов, то говорят о размещении без повторений. Их количество

Если в последовательности допускается наличие одинаковых элементов, то говорят о размещении с повторениями. Их количество

Любое подмножество (неупорядоченное), состоящее из k элементов, называется сочетанием из n элементов по k элементов.

Различные сочетания отличаются друг от друга только самими входящими в них элементами, порядок их следования безразличен, т.е. по условию задачи подмножества <1,2>и <2,1>не различны (соединены).

Число сочетаний без повторений

Число сочетаний с повторениями

Количество способов переставить элементов в заданном множестве (количество перестановок) вычисляется по формуле

При решении простейших комбинаторных задач можно использовать следующую таблицу, определяющую число множеств, состоящих из k элементов, отбираемых из множества, содержащего n элементов

Выбор	Неупорядоченный	Упорядоченный
Без повтора
С повтором

Рассмотрим разницу между сочетаниями, размещениями с повторениями, без повторений на следующих примерах.

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

ПРИМЕР 13.2.1 В коробке 6 шаров, пронумерованных от 1 до 6. Из коробки вынимаются друг за другом 3 шара и в этом же порядке записывают полученные цифры. Сколько трехзначных чисел можно таким образом записать?

Решение: По условию задачи подмножества <1;2;3>и <3;1;2>– различные. Повторов в подмножестве быть не может, так как шары не возвращаются в коробку.

ПРИМЕР 13.2.2. В коробке 6 шаров пронумерованных от 1 до 6. Из коробки вынимаются 3 шара и записывают число в порядке возрастания цифр. Сколько трехзначных чисел можно таким образом записать?

Решение: По условию задачи подмножества <1;2;3>и <3;2;1>дают число 123, т.е. не являются различными.

ПРИМЕР 13.2.3. Условие задачи 2.1 (шары возвращаются в коробку)

ПРИМЕР 13.2.4. Условие задачи 2.2 (шары возвращаются в коробку)

ПРИМЕР 13.2.5. Сколько различных перестановок можно составить из букв слова «комар»?

ПРИМЕР 13.2.6. Сколько различных перестановок можно составить из букв слова «задача»?

Решение: Если бы все шесть букв слова были различны, то число перестановок было бы 6! Но буква «а» встречается в данном слове три раза, и перестановки только этих трех букв «а» не дают новых способов расположения букв. Поэтому число перестановок букв слова «задача» будет не 6!, а в 3! раза меньше, то есть .

ПРИМЕР 13.2.7. В мастерской имеется материал 5 цветов. Поступил заказ на пошив флагов, состоящих из трех горизонтальных полос разного цвета каждый. Сколько таких различных флагов может сшить мастерская?

Решение: Флаги отличаются друг от друга как цветом полос, так и их порядком, поэтому разных флагов можно сделать штук.

ПРИМЕР 13.2.8. Сколькими способами можно распределить 5 учеников по 3 параллельным классам?

Решение: Составим вспомогательную таблицу

Таким образом, видно, что если для одного ученика существует 3 варианта выбора класса, то для всех 5 учеников существует способов распределения по классам.

ПРИМЕР 13.2.9. На книжной полке помещается 30 томов. Сколькими способами их можно расставить, чтобы при этом первый и второй том не стояли рядом?

Решение: Произведем рассуждения “от обратного”. Тридцать томов на одной полке можно разместить 30! способами.

Если 1 и 2 тома должны стоять рядом, то число вариантов расстановки сокращается до , т.к. комбинацию из 1 и 2 тома можно считать за один том, но при этом они могут стоять как (1;2) или (2;1), т.е.

Тогда искомое число способов расстановки есть

ПРИМЕР 13.2.10. Чемпионат, в котором участвуют 16 команд, проводится в два круга, т.е. каждая команда дважды встречается с любой другой. Определить, какое количество встреч следует провести.

ПРИМЕР 13.2.11. Автомобильная мастерская имеет для окраски 10 основных цветов. Сколькими способами можно окрасить автомобиль, если смешивать от 3 до 7 основных цветов?

Решение: Составим схему.

Из рисунка видно, что вариантов маршрута из А в B существует 3, и из B в C – 4, т.е. всего маршрутов .

На обратном пути вариантов маршрута из С в B существует 3 (один уже пройден), и из B в А – 2, т.е. всего возможных обратных маршрутов осталось . Тогда всего вариантов маршрута .

ПРИМЕР 13.2.13. Двенадцати ученикам выданы два варианта контрольной работы. Сколькими способами можно посадить учеников в два ряда по 6 человек, чтобы у сидящих рядом не было одинаковых вариантов, а у сидящих друг за другом был один и тот же вариант?

Решение: Рассуждения произведем несколькими способами

I способ) Первоначально 12 учеников разбивают на 2 группы по 6 человек. Это можно сделать способами.

Затем они могут распределиться по своим рядам согласно схеме

Поэтому всего способов распределения учеников будет .

II способ) Первоначально 12 учеников запускают в класс, указывая место, где каждый должен сидеть, например “второй ряд, третье место”. Так как посадочных мест также 12, то всего вариантов распределения 12!
Варианты контрольной работы могут распределиться

“I вариант – I ряд, II вариант – II ряд”

“II вариант – I ряд, I вариант – II ряд”,

Таким образом, всего способов распределения учеников будет .

По приведенным решениям видно, что результаты решений совпадают.

ПРИМЕР 13.2.14. Сколько существует вариантов расположения шести гостей за круглым шестиместным столом?

Решение: Эта задача имеет разные решения и, соответственно разные ответы – в зависимости от того, что понимать под различным расположением гостей за столом. Поэтому исследуем возможные варианты.

Если считать, что нам важно, кто сидит на каком стуле, то это простая задача на перестановки и, следовательно, всего вариантов .

Если же важно не то, кто какой стул занял, а то, кто рядом с кем сидит, то требуется рассмотреть варианты взаимного расположения гостей. В таком случае, расположения гостей, получаемые одно из другого при повороте гостей вокруг стола, фактически являются одинаковыми (смотри рисунок).

В такой постановке вопроса общее число различных вариантов расположений гостей уменьшается вдвое и составляет 60.

Отметим, что каждое решение будет считаться правильным при соответствующей постановке задачи.

ПРИМЕР 13.2.15. Семнадцать студентов сдали экзамены по 4 предметам только на “хорошо” и “отлично”. Верно ли утверждение, что хотя бы у двух из них оценки по экзаменационным предметам совпадают?

Решение: Очевидно, что в данном случае речь идет о возможных вариантах вида

Данный пример можно решить способом, изложенным в примере 13.1.8., и получить количество вариантов . Приведем другой наглядный способ решения, использующий так называемое “дерево решений”,который представляет все варианты (16 штук) получения экзаменационных оценок.

По “дереву решений” видно, что 16 студентов могут сдать экзамены только на “хорошо” и “отлично” так, что их результаты будут отличаться, но если студентов 17, хотя бы одно повторение обязательно будет.

При решении задач комбинаторики используются следующие правила.

Если некоторый объект A может быть выбран из совокупности объектов m способами, а другой объект B может быть выбран nспособами, то:

Правило суммы: выбрать либо A, либо B можно m+n способами.

Правило произведения. Пара объектов (A,B) в указанном порядке может быть выбрана способами.

Примеры и задачи для самостоятельного решения

Решить комбинаторную задачу.

13.2.1.1. В группе 25 студентов. Сколькими способами можно выбрать старосту, заместителя старосты и профорга?

13.2.1.2. В группе 25 студентов. Сколькими способами можно выбрать актив группы, состоящий из старосты, заместителя старосты и профорга?

13.2.1.3. Сколькими способами можно составить список из 10 человек?

Отв.: 3628800

13.2.1.4. Сколькими способами из 15 рабочих можно создать бригады по 5 человек в каждой?

Отв.: 126126

13.2.1.5. Буквы азбуки Морзе образуются как последовательности точек и тире. Сколько букв можно составить, используя для кодировки каждой из букв: а) ровно 5 символов? б) не более пяти символов?

Отв.: а)32; б) 62

13.2.1.6. Кости для игры в домино метятся двумя цифрами. Кости симметричны, и поэтому порядок чисел не существенен. Сколько различных костей можно образовать, используя числа 0,1,2,3,4,5,6?

13.2.1.7. Сколько различных звукосочетаний можно взять на десяти выбранных клавишах рояля, если каждое звукосочетание может содержать от трех до десяти различных звуков?

Отв.: 9864000

13.2.1.8. В вазе стоят 10 красных и 5 розовых гвоздик. Сколькими способами можно выбрать из вазы пять гвоздик одного цвета?

13.2.1.9. В некоторых странах номера трамвайных маршрутов обозначаются двумя цветными фонарями. Какое количество различных маршрутов можно обозначить, если использовать фонари восьми цветов?

13.2.1.10. Команда компьютера записывается в виде набора из восьми цифровых знаков – нулей и единиц. Каково максимальное количество различных команд?

13.2.1.11. Десять групп занимаются в десяти расположенных подряд аудиториях. Сколько существует вариантов расписания, при которых группы 1 и 2 находились бы в соседних аудиториях?

Отв.: 725760

13.2.1.12. Два почтальона должны разнести 10 писем по 10 адресам. Сколькими способами они могут распределить работу?

13.2.1.13. Замок открывается только в том случае, если набран определенный трехзначный номер. Попытка состоит в том, что набирают наугад три цифры из заданных пяти. Угадать номер удалось только на последней из всех возможных попыток. Сколько попыток предшествовало удачной?

13.2.1.14. Номер автомобильного прицепа состоит из двух букв и четырех цифр. Сколько различных номеров можно составить, используя 30 букв и 10 цифр?

Отв.: 9000000

13.2.1.15. У одного студента есть 7 DVD дисков, а у другого – 9 дисков. Сколькими способами они могут обменять 3 диска одного на 3 диска другого?

Отв.: 105840

13.2.1.16. На вершину горы ведут 7 дорог. Сколькими способами турист может два раза подняться на гору и спуститься с нее, если по одной и той же дороге нельзя проходить дважды?

13.2.1.17. У ювелира было 9 разных драгоценных камней: сапфир, рубин, топаз и т.д. Ювелир планировал изготовить браслет для часов, однако три камня было украдено. Насколько меньше вариантов браслета он может изготовить по сравнению с первоначальными планами?

Отв.: 362160

13.2.1.18. В поезд метро на начальной станции вошли 10 пассажиров. Сколькими способами могут выйти все пассажиры на последующих 6 станциях?

Отв.: 60466176

13.2.1.19. За одним столом надо рассадить 5 мальчиков и 5 девочек так, чтобы не было двух рядом сидящих мальчиков и двух рядом сидящих девочек. Сколькими способами это можно сделать?

13.2.1.20. В классе 25 учеников. Верно ли утверждение, что, по крайней мере, у трех из них день рождения в один и тот же месяц?

13.2.1.21. На участке железной дороги расположено 25 станций с билетной кассой в каждой. Касса каждой станции продает билеты до любой другой станции, притом в обоих направлениях. Сколько различных вариантов билетов можно выдать на этом участке?

13.2.1.22. На официальном приеме 50 человек обменялись рукопожатиями. Сколько было сделано рукопожатий?

13.2.1.23. Сколько диагоналей у выпуклого двадцатиугольника?

За две недели до начала нового календарного года работодателям нужно успеть утвердить важный локальный нормативный акт — график отпусков. Отсутствие этого документа расценивается как административное правонарушение и влечет предупреждение или штраф. Разбираемся, какие особенности нужно учесть в графике отпусков и какие категории сотрудников вправе претендовать на отдых вне очереди.

Особенности составления графика отпусков

Особенности составления графика отпусков
Как указывать дату начала отдыха в графике отпусков
праве переноса отпуска на следующий год
Форма для графика отпусков
Изменение графика отпусков
Сотрудник будет уволен в январе. Нужно ли на него заполнять график отпусков?
Штраф за отсутствие графика отпусков

Процедура составления графика

При составлении графика отпусков не стоит забывать о новичках, которые на начало календарного года не отработали шести месяцев. Как мы знаем, право на использование отпуска за первый год работы возникает по истечении шести месяцев непрерывной работы у конкретного работодателя. Поэтому при составлении графика важно учесть, чтобы новички до конца года смогли воспользоваться положенными днями отдыха.

Продолжительность основного ежегодного отпуска

28 календарных дней — для всех работников, не отнесенных к льготным категориям;
31 календарный день — для работников до 18 лет;
30 календарных дней — для инвалидов;
30-40 суток — для работников спасательных служб (в зависимости отстажа непрерывной работы);
42-56 календарных дней — для работников, занятых на работах химическим оружием, отдельных категорий педагогических работников.

Есть несколько категорий работников, которые «выбиваются» из общего правила составления графика отпусков:

Такие сотрудники указаны в ст. 122 ТК РФ:

женщины — перед отпуском по беременности и родам или непосредственно после него;
работники моложе 18 лет;
работники, усыновившие ребенка в возрасте до 3-х месяцев.

3. Многодетные сотрудники с детьми до 12 лет.

Все эти категории работников имеют право уйти в оплачиваемый отпуск в удобное для них время.

При составлении графика отпусков на год важно помнить, что нерабочие праздничные дни, которые указаны в ст. 112 ТК РФ, в число календарных дней ежегодного основного или дополнительного отпуска не входят. Поэтому если отпуск приходится на эти дни, срок его окончания переносится автоматически.

Кроме того, важно помнить и о переносе выходных дней (Постановление Правительства РФ от 10.10.2020 № 1648).

Как указывать дату начала отдыха в графике отпусков

О праве переноса отпуска на следующий год

Вполне возможно, что при составлении графика отпусков на год какой-то работник направит к вам заявление с просьбой не предоставлять ему отпуск в следующем году, а перенести его на 2022 год. На эту просьбу нужно ответить отказом. Так советуют поступить эксперты Роструда.

Форма для графика отпусков

Графы 7, 8 и 9 не заполняются. Данные в них вносятся от руки в течение года, по мере ухода работников в отпуск.

С утвержденным графиком отпусков сотрудников необходимо ознакомить под роспись. Документ следует:

хранить в бухгалтерии и отделе кадров;
вывесить в удобном месте для ознакомления;
выслать в структурные подразделения компании (копии графика).

Есть несколько случаев, когда работник обязан подавать заявление о предоставлении отпуска:

отпуск используется ранее шести месяцев непрерывной работы у работодателя;
отпуск используется ранее шести месяцев непрерывной работы на основании соглашения с работодателем;
работник относится к одной из категорий, которым работодатель обязан предоставлять отпуск в удобное время.

Изменение графика отпусков

Чтобы в форме Т-7 зафиксировать перенос отпусков в текущем календарном году, используются графы 7-9.

Графу 10 («примечания») следует использовать в следующих случаях:

когда отпуск или его части переносятся согласно причине, обозначенной в — предоставление отпуска может неблагоприятно отразиться на нормальном ходе работы организации;
когда отпуск или его части переносятся по причине, указанной в;и перенос отпуска на следующий календарный год.

Добавление нового сотрудника в утвержденный график отпусков

внести изменения в сводный график отпусков;
составить дополнительный график и приобщить его к сводному.

Сотрудник будет уволен в январе. Нужно ли на него заполнять график отпусков?

Разъяснения по этому вопросу дано в Письме Минтруда РФ от 27.03.2020 N 14-2/В-321.

Штраф за отсутствие графика отпусков

Применяя формулы и правила дифференцирования, найти производные следующих функций:

Практическое занятие по теме :

Интегралы и их свойства

Цель занятия: закрепить и обобщить навыки вычисления неопределенного и определенного интегралов, площади криволинейной трапеции

Задания для решения на занятии

Вычислить неопределенные интегралы:

Вычислить определенные интегралы:

Вычислить площади криволинейных трапеций, ограниченных линиями:

у= , у=-log 2 х+1, у=0

у=х 2 +2х-3, у=-х 2 +2х+5

Вычислить площади криволинейных трапеций, ограниченных линиями: а) у=2х 2 -1, у=х 2 б) у= , у= х-2, у=- х+4

Практическое занятие по теме:

Цель занятия: научиться определять вид дифференциального уравнения,

решать дифференциальные уравнения 1-го порядка.

Задачи для решения на занятии

Найти общие решения дифференциальных уравнений с разделяющимися переменными.

Найти частные решения дифференциальных уравнений.

9. , если у=2 при х=0.

10. , если у=1 при х=2.

11. , если у=0,5 при

III. Найти общее решение однородных дифференциальных уравнений.

IV. Найти общее решение линейных дифференциальных уравнений

V. Найти частные решения уравнений, удовлетворяющие указанным начальным условиям:

23. , если у=0 при х=0

24. , если у=1 при х=0

26. , если у=0,5 при х=1

Практическое занятие по теме:

Основные понятия дискретной математики

Тема: Размещения, перестановки, сочетания. Бином Ньютона

Цель занятия: научиться вычислять количество комбинаций элементов множества в соответствии с заданными правилами.

Задания для решения на занятии

Вычислить: 1) - 2) 3) 4)

Упростить: 1) 2) ( - ) п !

Найти значения выражения: +

=79
=156
=
=

Задачи : 1. Сколькими способами можно составить график очередности ухода в отпуск 8 сотрудников лаборатории?

2. Сколькими способами можно выбрать для подарка 3 предмета из 9 различных предметов?

3. Доказать, что число трехбуквенных слов, которые можно образовать из букв, составляющих слово «гипотенуза», равно числу всех возможных перестановок букв, составляющих слово «призма».

Представить в виде многочлена, используя формулу бинома Ньютона:

Найти значения выражения: ( - )

Решить уравнение: =18

Решить задачу: Сколькими разными способами можно рассадить троих учащихся, пришедших на факультативные занятия, на сорока имеющихся в классе стульях?

Представить в виде многочлена, используя формулу бинома Ньютона:

Практическое занятие по теме:

Цель занятия: научиться вычислять вероятности, применяя классическое определение вероятности и вероятности сложных событий

Задания для решения на занятии

1. Определите, какие из следующих событий невозможные, какие-достоверные, какие-случайные:

2. Вы купили в магазине телевизор, на который фирма-производитель дает 2 года гарантии. Какие из следующих событий невозможные, какие-достоверные, какие-случайные:

3. В коробке лежит 10 красных, 1 зеленая и 2 синие ручки. Из коробки наугад вынимают 2 предмета. Какие из следующих событий невозможные, какие-достоверные, какие-случайные:

4. Три господина, придя в ресторан, сдали в гардероб свои шляпы. Расходились по домам они уже в темноте и разобрали шляпы наугад. Какие из следующих событий невозможные, какие-достоверные, какие-случайные:

5. В игре «Любовь с первого взгляда» участвуют трое юношей и три девушки. Каждый юноша выбирает одну девушку, а каждая девушка-одного из юношей.Если юноша и девушка выбирают друг друга, то образуется пара. Какие из следующих событий невозможные, какие-достоверные, какие-случайные:

6. Винни-Пух, Пятачок и все-все-все садятся за круглый стол праздновать день рождения. При каком количестве всех-всех-всех событие А= < Винни-Пух и Пятачок будут сидеть рядом >является достоверным, а при каком-случайным?

7. В школе учится N учеников. При каких значениях N событие А= < в школе есть ученики с совпадающими днями рождениями >является достоверным, а при каком-случайным?

8. Среди 100 билетов школьной благотворительной лотереи 20 выигрышных. Сколько билетов вам надо купить, чтобы событие А= < вы ничего не выиграете >было невозможным?

9. В шкафу 10 пар ботинок с 36-го по 45-й размер – по одной паре каждого. Ботинки достают из шкафа наугад. Какое наименьшее количество ботинок надо вынуть из шкафа, чтобы событие А= < из вынутых ботинок можно составить хотя бы одну пару>было достоверным?

10. В классе учится 10 мальчиков и 20 девочек. Какие из следующих событий являются для такого класса невозможным, какие-достоверные, какие-случайные:

11. Автобусу, в котором едет 15 пассажиров, предстоит сделать 10 остановок. Какие из следующих событий невозможные, какие-достоверные, какие-случайные:

12а. В коробке 3 красных, 3 желтых, 3 зеленых шара. Вытаскиваем наугад N шаров. Рассмотрим событие А=< среди вынутых шаров окажутся шары ровно трех цветов >. Для каждого N от 1 до 9 определите, какое это событие- невозможное, достоверное или случайное.

12б. В коробке снова 3 красных, 3 желтых, 3 зеленых шара. Вытаскиваем наугад 4 шара. Рассмотрим событие В=<среди вынутых шаров окажутся шары ровно М цветов >. Для каждого М от 1 до 4 определите, какое это событие- невозможное, достоверное или случайное.

Игральный кубик подбросили 1 раз. Какова вероятность появления шестерки?
В урне 3 белых и 7 черных шаров. Случайным образом вынули 1 шар. Какова вероятность того, что он белый?
Бросили один раз 2 игральных кубика. Какова вероятность того, что на обеих гранях в сумме выпадет 7 очков?
Бросили один раз 2 игральных кубика. Какова вероятность того, что произведение выпавших очков делится на 3?
Какова вероятность того, что наудачу выбранное число от 40 до 70 является кратным 6?
Набирая номер телефона, абонент забыл последние 2 цифры и, помня, что эти цифры различны, набрал их наудачу. Какова вероятность того, что набраны нужные цифры?
Из колоды в 36 карт наугад вынимают одну карту. Какова вероятность того, что это будет карта бубновой масти?
Из букв слова «Вероятность» наугад выбирается одна буква. Какова вероятность того, что выбранная буква будет: а) гласной; б) согласной; в) буква «О»?
Все натуральные числа от 1 до 30 написаны на одинаковых карточках и положены в урну. После тщательного перемешивания карточек из урны извлекается одна карточка. Какова вероятность, что число на взятой карточке окажется кратным 5?
В урне 6 белых и 4 черных шара. Из урны вынимают шар и откладывают в сторону. Этот шар оказался белым. После этого из урны вынимают еще один шар. Найти вероятность того, что этот шар тоже будет белым.
В первом ящике находятся шары с номерами от 1 до 5, а во втором – с номерами от 6 до 10. Из каждого ящика вынули по одному шару. Найти вероятность следующих событий: а) сумма номеров вынутых шаров меньше 7; б) сумма номеров вынутых шаров равна 11; в) сумма номеров вынутых шаров не больше 11.
Бросают два одинаковых игральных кубика. Какова вероятность того, что модуль разности выпавших очков равен 2?
Произвольным образом выбирается двузначное число. Какова вероятность того, что это число окажется: а) кратным 3; б)кратным 6; в) кратным 50?
Студенту предложили написать на доске любое натуральное число от 100 до 200. Найти вероятность того, что: а) это число нечетное; б)среди цифр этого числа есть 3; в)это число не является кубом целого числа; г) сумма его цифр больше 3.
Куб, все грани которого окрашены, распилен на 1000 кубиков одинакового размера, которые затем тщательно перемешаны. Найти вероятность того, что наудачу извлеченный кубик имеет: а) одну окрашенную грань; б) две окрашенные грани; в) три окрашенные грани.

Имеется корзина с 10 черными и 12 белыми шарами. Найдите вероятность вытаскивания с закрытыми глазами черного шара.
Представьте, что вы стоите на 4 этаже 9-этажного дома. Вам необходимо спуститься вниз. Известно, что лифт начал своё движение вверх с 1 этажа. Какова вероятность того. Что лифт приедет именно на 4 этаж?
Какова вероятность того, что Андрей из мешка с бочонками для лото вытащит бочонок с четной цифрой, если в лото участвуют бочонки от 1 до 99?
Допустим, что вы забыли последнюю цифру номера телефона друга и набрали ее наугад. Какова вероятность того, что вы набрали ее верно?
Возьмем всем известный кубик с шестью гранями с нанесенными на него цифрами от 1 до 6.

а) Какова вероятность того, что при подбрасываний выпадет цифра 3?

б) …выпадет четная цифра? в) …число, кратное трем? г) …число 0?

По теме: методические разработки, презентации и конспекты

Сборник задач прикладного и практического содержания

В профилированной программе по математике для начального профессионального образования основной задачей ставится укрепление межпредметных связей .

Сборник задач по дисциплине « Технология приготовления мучных кондитерских изделий» для специальности 260502 « Технология продукции общественного питания»

Сборник задач по дисциплине « Технология приготовления мучных кондитерских изделий» для специальности 260502 « Технология продукции общественного питания» Пояснительная записка. Сборник практических з.

Сборник задач по "Банковским операциям" для самостоятельной подготовки студентов сп.080108 "Банковское дело"

Подготовка к ИГА (итоговая государственная аттестация) всегда очень ответственный и сложный момент для учащихся. В помощь своим студентам 3 курса помещаю варианты задач и тестов, а также вопросы для у.

Сборник задач по "Учету в банках" для самостоятельной подготовки студентов сп. 080108 "Банковское дело"

Задания необходимы для их самостоятельного решения и подготовки к ИГА. Все решенные задачи и тесты помогут быть уверенными на экзаменационном испытании..Удачи и успехов вам - мои любимые студенты.

Сборник задач Для учащихся учреждений начального профессионального образования сельскохозяйственного профиля

Данный сборник задач составлен на основании образовательного стандарта по профессии «Тракторист-машинист сельскохозяйственного производства» ОСТУ ПО 02-37.14-2000.В настоящем сборнике приведены .

Сборник задач по УД "Теория алгоритмов"

сборник задач по учебной дисциплине "Теория алгоритмов".

Сборник задач по теме "Тригонометрия"

Читайте также: