Три сотрудника могут составить один и тот же документ вероятность

Опубликовано: 17.09.2024

Вероятности событий. Примеры использования вероятностей и статистики при решении прикладных задач

Данная статья написана в целях подготовки к ЕГЭ по математике, мы приступим к рассмотрению элементов теории вероятностей. Эта теория включает в себя:

Все происходящие в нашей жизни события делятся на три группы:

Теория вероятностей создана в целях изучения случайных событий, которые происходят либо не могут произойти. Также мы рассмотрим примеры задач по данной теме, обычно они встречаются в первой части заданий ЕГЭ по математике профильного уровня, начнём с определения понятия теории вероятностей.

Теория вероятностей. Определения

Теория вероятностей – это раздел математики, который изучает события, их свойства, а также действия над ними.

Считают, что теория вероятностей возникла в средних веках и применялась для анализа исхода различных азартных игр.

Объект изучения в теории вероятности – события и их вероятность. Если событие сложное, то его следует разделить на несколько простых, у которых несложно определить вероятность.

Суммой событий (например, А и В) является событие, называемое С, оно означает реализацию одного из событий либо двух одновременно.

Произведением событий также является событие С, которое заключается в реализации обоих событий.

Несовместными называют события, которые не имеют возможности произойти одновременно.

Невозможным называют событие, которое не произойдёт.

Достоверным называют событие, если оно обязательно должно произойти.

Часто встречается ситуация, когда есть два n исходов, которые являются равновероятными, и произвольные, которые k, которые образуют события. Здесь вероятность можно высчитать согласно формуле: Р(А) = k / n. Такую вероятность называют классической. Типовые задания, встречающиеся на ЕГЭ по математике, обычно связаны с темой классической вероятности. Следует учитывать, что обычно они являются несложными.

Примеры задач по теории вероятности

Рассмотрим примеры заданий на теорию вероятности.

В корзине лежат двадцать мячей: пять – красных, семь – янтарных, восемь – серых. Мальчик хочет взять мяч. Какая вероятность, что он выберет именно серый мяч?

Решение: данная задача предполагает двадцать исходов, то есть мальчик может выбрать любой из двадцати мячей. Нам нужно вычислить вероятность того, что он выберет именно серый мяч, то есть Р(А), где А является серым мячом. Получается, количество таких исходов всего восемь. Далее применяем вышенаписанную формулу и получаем: 8 / 20 = 0,4.

Ответ: вероятность того, что мальчик выберет серый мяч, равна 0,4.

Всего в классе тридцать учеников, из них два товарища – Игорь и Семён. Учеников в случайном порядке делят на три группы с одинаковым количеством человек в каждой. Необходимо вычислить вероятность нахождения Игоря и Семёна в одной группе.

Решение: следует вспомнить классическую вероятность, наиболее часто встречающуюся в КИМах заданий. В каждой группе по 10 учеников. Допустим, что один из мальчиков попадёт в одну из данных групп. Тогда в группе остаётся 9 мест, являющихся свободными, на одном из этих мест может оказаться второй мальчик. Всего двадцать девять, которые могут расположиться на девяти местах. Вычисляем: 9 / 29 = 0,31.

Ответ: вероятность того, что Игорь и Семён окажутся в одной группе будет равняться 0,31.

В последние годы в демоверсиях ЕГЭ по математике часто стали давать задания на большую сложность. Поэтому рассмотрим вопросы, которые также необходимо учитывать при изучении данной темы.

События являются независимыми, при условии, что их вероятность не зависит от происхождения того или иного события. Событие В будет противоположным А, если это событие не произойдёт. Его вероятность равна единице и минусу вероятность самого события.

Теоремы сложения и умножения вероятностей

Перейдём к рассмотрению теорем сложения и умножения вероятностей и их формул:

Не во всех случаях подсчёт исходов прост. В некоторых случаях нужно применять формулы комбинаторики. Например, как разложить предметы (их шесть) по шести столам? Допустим, первый предмет будет лежать на любом из этих мест. Для второго предмета остаётся пять столов для расположения, для третьего – четыре, для четвёртого – три, для пятого – два, шестой предмет будет расположен на одном оставшемся столе. Для нахождения числа всех возможных вариантов нужно вычислить произведение 1 * 2 * 3 * 4 * 5 * 6, его пишут, как 6! И читают, как шесть факториал.

Решение: мы имеем два события, являющиеся несовместными. Получаем: Р(АВ) = Р(А) + Р(В) = 0,2 + 0,15 = 0,35.

Ответ: вероятность того, что выпускник выберет одну из известных тем, равна 0,35.

Таким образом, мы рассмотрели три группы событий, которые могут произойти либо не произойти, основные определения, формулы, а также примеры задач по нахождению теории вероятностей.

Примерами использования вероятностей может быть медицина. При производстве лекарств широко применяют данные, содержащие статистику. При работе над созданием лекарств ставят опыты для проверки обладает ли оно заявленным требованиям. Данный процесс помогает определить работает ли средство.

Также теорию вероятностей применяют в лотереи. Например, если продали тысячу билетов, должны разыграть восемьсот призов, составляющих определённую сумму, а также одну тысячу двести призов, которые будут утешительными. Определим вероятность выигрыша определённой суммы и утешительного приза, и саму вероятность выиграть что-то из двух вариантов.

Р1 = 800 / 100000 = 0, 008.

Р2 = 1200 / 100000 = 0,012.

Р3= (800 + 1200) / 100000 = 0,012.

В данной статье мы рассмотрели теории вероятностей, а также примеры их использования. Разобрали основные составляющие темы, которые могут встречать на ЕГЭ по математике и разобрали большое количество типовых задач. Изучив весть данный в статье материал, рекомендуем также просмотреть демонстрационные варианты экзамена и решить задачи теме.

2 В теории вероятностей часто приходится иметь дело с задачами, в которых необходимо подсчитывать число возможных способов совершения каких-либо действий. Задачи такого типа называются комбинатόрными, а раздел математики, занимающийся решением таких задач, комбинатόрикой. Сформулируем два универсальных правила, применяемых при решении комбинаторных задач. 2

3 ПРАВИЛО ПРОИЗВЕДЕНИЯ. Пусть требуется выполнить одно за другим какие-либо m действий. Если первое действие можно выполнить n 1 способами, второе действие - n 2 способами и так до m-го действия, которое можно выполнить n m способами, то все m действий могут быть выполнены n 1 n 2 n m способами. 3

4 ПРАВИЛО СУММЫ. Пусть требуется выполнить одно из каких-либо m действий, взаимно исключающих друг друга. Если первое действие можно выполнить n 1 способами, второе действие - n 2 способами и так до m-го действия, которое можно выполнить n m способами, то все m действий могут быть выполнены (n 1 + n n m ) способами. 4

5 Напомним понятие факториала, активно используемое в комбинаторике. Факториалом натурального числа n называется число n! = n n 1 n (1.1) По определению, факториалом нуля является единица: 0! = 1. (1.2) 5

6 Рассмотрим некоторое множество S, состоящее из n различных элементов. Пусть 1 k n. Назовём множество, состоящее из k элементов, упорядоченным, если каждому элементу этого множества поставлено в соответствие число от 1 до k, причём различным элементам множества соответствуют разные числа. 6

7 Размещениями из n элементов по k называются упорядоченные подмножества множества S, состоящие из k различных элементов и отличающиеся друг от друга составом элементов или порядком их расположения. Число размещений из n элементов по k равно A n k = n! n k! = n n 1 n 2 (n k + 1). (1.3) 7

8 Перестановками из n элементов называются размещения из n элементов по n, т.е. упорядоченные подмножества множества S, состоящие из всех элементов данного множества и отличающиеся друг от друга только порядком их расположения. Число перестановок из n элементов равно P n = n! = n n 1 n (1.4) 8

9 Сочетаниями из n элементов по k называются подмножества множества S, состоящие из k различных элементов и отличающиеся друг от друга только составом элементов. Число сочетаний из n элементов по k равно C n k = A n k P k = n! k! n k!. (1.5) 9

10 Размещениями с повторениями из n элементов по k называются упорядоченные подмножества множества S, состоящие из k элементов, среди которых могут оказаться одинаковые, и отличающиеся друг от друга составом элементов или порядком их расположения. Число размещений с повторениями из n элементов по k равно A n k = n k. (1.6) 10

11 Сочетаниями с повторениями из n элементов по k называются подмножества множества S, состоящие из k элементов, среди которых могут оказаться одинаковые, и отличающиеся друг от друга только составом элементов. Число сочетаний с повторениями из n элементов по k равно C k k n = C n+k 1 = n+k 1!. (1.7) k! n 1! Отметим, что формулы (1.4) (1.7) сохраняют смысл и остаются справедливыми и при k = 0. 11

12 Если во множестве S, состоящем из n элементов, есть только m различных элементов, то перестановками с повторениями из n элементов называются упорядоченные подмножества множества S, в которые первый элемент множества S входит n 1 раз, второй элемент - n 2 раз и так до m-го элемента, который входит m n раз (n 1 + n n m = n). 12

13 Число перестановок с повторениями из n элементов, в которые первый элемент множества S входит n 1 раз, второй элемент - n 2 раз и так до m-го элемента, который входит m n раз (n 1 + n n m = n), равно P n n 1, n 2,, n m = n! n 1!n 2! n m!. (1.8) 13

14 Задачи с решениями 1. Маша поссорилась с Петей и не хочет ехать с ним в одном автобусе. От общежития до института с 7 до 8 час. отправляется пять автобусов. Не успевший на последний из этих автобусов опаздывает на первую пару. Сколькими способами Маша и Петя могут доехать до института в разных автобусах и не опоздать на пару? 14

15 Задачи с решениями Решение. Петя может доехать до института n 1 = 5 различными способами (на одном из пяти автобусов), при этом Маше остаётся только n 2 = 4 способа (так как один из автобусов занят Петей). Таким образом, по правилу произведения у Пети и Маши есть n 1 n 2 = 20 различных способов добраться до института в разных автобусах и не опоздать на пару. 15

16 Задачи с решениями 2. В информационно-технологическом управлении банка работают три аналитика, десять программистов и 20 инженеров. Для сверхурочной работы в праздничный день начальник управления должен выделить одного сотрудника. Сколько способов существует у начальника управления? 16

17 Задачи с решениями Решение. Начальник управления может отобрать одного аналитика n 1 = 3 способами, одного программиста n 2 = 10 способами, а одного инженера - n 3 = 20 способами. Поскольку по условию задачи начальник управления может выделить любого из своих сотрудников, согласно правилу суммы у него существует n 1 + n 2 + n 3 = = 33 различных способа выбрать сотрудника для сверхурочной работы. 17

18 Задачи с решениями 3. Начальник службы безопасности должен ежедневно расставлять десять охранников по десяти постам. В целях усиления безопасности одна и та же комбинация расстановки охранников по постам не может повторяться чаще одного раза в месяц. Оценить, возможно ли это, найдя число различных комбинаций расстановки охранников. 18

19 Задачи с решениями Решение. Первый способ. На первый пост начальник службы безопасности может назначить любого из n 1 = 10 охранников, на второй пост - любого из оставшихся n 2 = 9 охранников и так до девятого поста, на который можно назначить любого из оставшихся n 9 = 2 охранников, при этом оставшийся n 10 = 1 охранник будет назначен на десятый пост. Поэтому, согласно правилу произведения, у начальника службы безопасности есть n 1 n 2. n 10 = = 10! = способов расстановки охранников по постам. 19

20 Задачи с решениями Решение. Первый способ. Поскольку количество дней в месяце не превышает 31, у начальника службы безопасности заведомо существует достаточное число способов расстановки своих подчинённых по постам. Второй способ. Число способов расстановки десяти охранников по десяти постам, существующих у начальника службы безопасности, описывается числом перестановок из 10 элементов, т. е. P 10 = 10! =

21 Задачи с решениями 5. Новый начальник должен назначить двух новых заместителей из числа десяти претендентов. Сколько способов существует у начальника, если: а) один из заместителей (первый) выше другого по должности; б) заместители по должности равны между собой. 21

22 Задачи с решениями Решение. Первый способ. а) Первого заместителя можно выбрать из n 1 = 10 претендентов, при этом на пост второго заместителя будут претендовать n 2 = 9 оставшихся претендентов. Поэтому, согласно правилу произведения, у нового начальника есть n 1 n 2 = 10 9 = 90 способов назначения двух заместителей, один из которых подчиняется другому, из числа десяти претендентов. 22

23 Задачи с решениями Решение. Первый способ. б) Пусть первое действие заключается в том, что начальник отбирает двух человек на должности заместителей, а второе действие в том, что начальник говорит отобранным людям, кто из них является первым заместителем, а кто - вторым. Пусть первое действие можно выполнить n 1 способами, второе действие, очевидно, можно выполнить n 2 = 2 способами, и по правилу произведения число способов назначения двух заместителей, один из которых подчиняется другому, из числа десяти претендентов составляет n 1 n 2 =2n 1. 23

24 Задачи с решениями Решение. Первый способ. С другой стороны, в пункте а) мы нашли это число, и оно оказалось равным 90, поэтому n 1 = 90 2 = 45. Решение. Второй способ. а) Число способов выбора двух кандидатов на две различные должности из десяти претендентов описывается числом размещений из 10 элементов по 2, т.е. A 2 10 =

25 Задачи с решениями Решение. Второй способ. б) Число способов выбора двух кандидатов на две одинаковые должности из десяти претендентов описывается числом сочетаний из 10 элементов по 2, т. е. 2 = 45. C 10 25

26 Задачи с решениями 21. Маша очень любит пирожные и ежедневно покупает шесть пирожных (одинаковых или разных). Всего в булочной продаётся 11 сортов пирожных. Сколькими способами Маша может выбрать из них шесть штук? Решение. Каждому набору пирожных, которые выберет Маша, будем ставить в соответствие последовательность нулей и единиц, определяемую по следующему правилу. Напишем подряд столько единиц, сколько пирожных первого вида выбрала Маша, далее поставим нуль и после него запишем количество отобранных пирожных второго вида и т.д. 26

27 Задачи с решениями 21. Решение. Например, комбинации «одно пирожное второго вида, три пирожных пятого вида и одно пирожное восьмого вида» соответствует такая последовательность: « » (нули отделяют виды пирожных друг от друга, поэтому нуль после одиннадцатого вида не нужен). При этом каждому набору пирожных взаимно однозначным образом соответствует последовательность, построенная по описанному правилу. 27

28 Задачи с решениями 21. Решение. Все такие последовательности состоят, очевидно, из 16 знаков, причём 10 из них нули, которые могут занимать любое место. Поэтому количество способов выбора пирожных равно количеству всех таких последовательностей, т.е. числу размещений десяти нулей по 16 местам: C =

29 Задачи с решениями 23. Сколько различных слов можно составить, переставляя буквы в слове «мама»? Решение. Число различных слов, которые можно составить, переставляя буквы в слове «мама», описывается числом перестановок с повторениями из n = 4 элементов (букв в слове «мама»), в которые первый элемент (буква «м») входит n 1 = 2 раза, а второй элемент (буква «а») - n 2 = 2 раза (n 1 + n 2 = n = 4 ). Это число равно P 4 2,2 = 4! 2! 2! = 6 29

30 Задачи для самостоятельного решения 6. Сколько существует способов распределить между восемью сотрудниками трех премий: а) одинакового размера; б) разных размеров, известных заранее? 7. Одна из воюющих сторон захватила в плен 12 солдат, а другая 15. Определить, сколькими способами стороны могут обменять семерых военнопленных. 30

31 Задачи для самостоятельного решения 8. Петя и Маша коллекционируют видеокассеты. У Пети есть 30 комедий, 80 боевиков и 7 мелодрам, у Маши 20 комедий, 5 боевиков и 90 мелодрам. Сколькими способами Петя и Маша могут обменяться тремя комедиями, двумя боевиками и одной мелодрамой? 9. В сессию в течение 20 дней студенты одной группы должны сдать пять экзаменов. Сколькими способами можно составить расписание экзаменов, если: а) запрещается сдавать два экзамена в один день; б) между двумя экзаменами должен пройти хотя бы один день для подготовки? 31

32 Задачи для самостоятельного решения 10. В банке девять учредителей. Регистрационные документы хранятся в сейфе. Сколько замков должен иметь сейф, и сколько ключей к ним нужно изготовить, чтобы доступ к содержимому сейфа был возможен только тогда, когда соберётся не менее шести учредителей? 11. Маша решила помириться с Петей и позвонить ему, но забыла две последних цифры его телефона и набирает их наудачу. Найти наибольшее возможное число неудачных попыток, которые сделает Маша, прежде чем дозвонится до Пети. 32

33 Задачи для самостоятельного решения 12. Сколько автомобилей в одном городе можно обеспечить государственными регистрационными знаками, если каждый регистрационный знак состоит из кода города, трёх букв, имеющих одинаковое начертание как в русском, так и в латинском алфавите («А», «В», «Е», «К», «М», «Н», «О», «Р», «С», «Т», «У», «Х»), и трёх цифр? 19. Определить, сколько существует вариантов опроса группы из десяти студентов на одном занятии по теории вероятностей, если ни один из студентов не будет подвергнут опросу дважды, и на занятии может быть опрошено любое число студентов(в том числе, ни один)? 33

34 Задачи для самостоятельного решения 22. В конкурсе по трём номинациям участвуют десять кинофильмов. Вычислить число вариантов распределения призов, если по каждой номинации установлены: а) различные призы; б) одинаковые призы. 24. Сколько различных слов можно составить, переставляя буквы в слове «математика»? 34

Если в последовательности нет одинаковых элементов, то говорят о размещении без повторений. Их количество

Если в последовательности допускается наличие одинаковых элементов, то говорят о размещении с повторениями. Их количество

Любое подмножество (неупорядоченное), состоящее из k элементов, называется сочетанием из n элементов по k элементов.

Различные сочетания отличаются друг от друга только самими входящими в них элементами, порядок их следования безразличен, т.е. по условию задачи подмножества <1,2>и <2,1>не различны (соединены).

Число сочетаний без повторений

Число сочетаний с повторениями

Количество способов переставить элементов в заданном множестве (количество перестановок) вычисляется по формуле

При решении простейших комбинаторных задач можно использовать следующую таблицу, определяющую число множеств, состоящих из k элементов, отбираемых из множества, содержащего n элементов

Выбор	Неупорядоченный	Упорядоченный
Без повтора
С повтором

Рассмотрим разницу между сочетаниями, размещениями с повторениями, без повторений на следующих примерах.

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

ПРИМЕР 13.2.1 В коробке 6 шаров, пронумерованных от 1 до 6. Из коробки вынимаются друг за другом 3 шара и в этом же порядке записывают полученные цифры. Сколько трехзначных чисел можно таким образом записать?

Решение: По условию задачи подмножества <1;2;3>и <3;1;2>– различные. Повторов в подмножестве быть не может, так как шары не возвращаются в коробку.

ПРИМЕР 13.2.2. В коробке 6 шаров пронумерованных от 1 до 6. Из коробки вынимаются 3 шара и записывают число в порядке возрастания цифр. Сколько трехзначных чисел можно таким образом записать?

Решение: По условию задачи подмножества <1;2;3>и <3;2;1>дают число 123, т.е. не являются различными.

ПРИМЕР 13.2.3. Условие задачи 2.1 (шары возвращаются в коробку)

ПРИМЕР 13.2.4. Условие задачи 2.2 (шары возвращаются в коробку)

ПРИМЕР 13.2.5. Сколько различных перестановок можно составить из букв слова «комар»?

ПРИМЕР 13.2.6. Сколько различных перестановок можно составить из букв слова «задача»?

Решение: Если бы все шесть букв слова были различны, то число перестановок было бы 6! Но буква «а» встречается в данном слове три раза, и перестановки только этих трех букв «а» не дают новых способов расположения букв. Поэтому число перестановок букв слова «задача» будет не 6!, а в 3! раза меньше, то есть .

ПРИМЕР 13.2.7. В мастерской имеется материал 5 цветов. Поступил заказ на пошив флагов, состоящих из трех горизонтальных полос разного цвета каждый. Сколько таких различных флагов может сшить мастерская?

Решение: Флаги отличаются друг от друга как цветом полос, так и их порядком, поэтому разных флагов можно сделать штук.

ПРИМЕР 13.2.8. Сколькими способами можно распределить 5 учеников по 3 параллельным классам?

Решение: Составим вспомогательную таблицу

Таким образом, видно, что если для одного ученика существует 3 варианта выбора класса, то для всех 5 учеников существует способов распределения по классам.

ПРИМЕР 13.2.9. На книжной полке помещается 30 томов. Сколькими способами их можно расставить, чтобы при этом первый и второй том не стояли рядом?

Решение: Произведем рассуждения “от обратного”. Тридцать томов на одной полке можно разместить 30! способами.

Если 1 и 2 тома должны стоять рядом, то число вариантов расстановки сокращается до , т.к. комбинацию из 1 и 2 тома можно считать за один том, но при этом они могут стоять как (1;2) или (2;1), т.е.

Тогда искомое число способов расстановки есть

ПРИМЕР 13.2.10. Чемпионат, в котором участвуют 16 команд, проводится в два круга, т.е. каждая команда дважды встречается с любой другой. Определить, какое количество встреч следует провести.

ПРИМЕР 13.2.11. Автомобильная мастерская имеет для окраски 10 основных цветов. Сколькими способами можно окрасить автомобиль, если смешивать от 3 до 7 основных цветов?

Решение: Составим схему.

Из рисунка видно, что вариантов маршрута из А в B существует 3, и из B в C – 4, т.е. всего маршрутов .

На обратном пути вариантов маршрута из С в B существует 3 (один уже пройден), и из B в А – 2, т.е. всего возможных обратных маршрутов осталось . Тогда всего вариантов маршрута .

ПРИМЕР 13.2.13. Двенадцати ученикам выданы два варианта контрольной работы. Сколькими способами можно посадить учеников в два ряда по 6 человек, чтобы у сидящих рядом не было одинаковых вариантов, а у сидящих друг за другом был один и тот же вариант?

Решение: Рассуждения произведем несколькими способами

I способ) Первоначально 12 учеников разбивают на 2 группы по 6 человек. Это можно сделать способами.

Затем они могут распределиться по своим рядам согласно схеме

Поэтому всего способов распределения учеников будет .

II способ) Первоначально 12 учеников запускают в класс, указывая место, где каждый должен сидеть, например “второй ряд, третье место”. Так как посадочных мест также 12, то всего вариантов распределения 12!
Варианты контрольной работы могут распределиться

“I вариант – I ряд, II вариант – II ряд”

“II вариант – I ряд, I вариант – II ряд”,

Таким образом, всего способов распределения учеников будет .

По приведенным решениям видно, что результаты решений совпадают.

ПРИМЕР 13.2.14. Сколько существует вариантов расположения шести гостей за круглым шестиместным столом?

Решение: Эта задача имеет разные решения и, соответственно разные ответы – в зависимости от того, что понимать под различным расположением гостей за столом. Поэтому исследуем возможные варианты.

Если считать, что нам важно, кто сидит на каком стуле, то это простая задача на перестановки и, следовательно, всего вариантов .

Если же важно не то, кто какой стул занял, а то, кто рядом с кем сидит, то требуется рассмотреть варианты взаимного расположения гостей. В таком случае, расположения гостей, получаемые одно из другого при повороте гостей вокруг стола, фактически являются одинаковыми (смотри рисунок).

В такой постановке вопроса общее число различных вариантов расположений гостей уменьшается вдвое и составляет 60.

Отметим, что каждое решение будет считаться правильным при соответствующей постановке задачи.

ПРИМЕР 13.2.15. Семнадцать студентов сдали экзамены по 4 предметам только на “хорошо” и “отлично”. Верно ли утверждение, что хотя бы у двух из них оценки по экзаменационным предметам совпадают?

Решение: Очевидно, что в данном случае речь идет о возможных вариантах вида

Данный пример можно решить способом, изложенным в примере 13.1.8., и получить количество вариантов . Приведем другой наглядный способ решения, использующий так называемое “дерево решений”,который представляет все варианты (16 штук) получения экзаменационных оценок.

По “дереву решений” видно, что 16 студентов могут сдать экзамены только на “хорошо” и “отлично” так, что их результаты будут отличаться, но если студентов 17, хотя бы одно повторение обязательно будет.

При решении задач комбинаторики используются следующие правила.

Если некоторый объект A может быть выбран из совокупности объектов m способами, а другой объект B может быть выбран nспособами, то:

Правило суммы: выбрать либо A, либо B можно m+n способами.

Правило произведения. Пара объектов (A,B) в указанном порядке может быть выбрана способами.

Примеры и задачи для самостоятельного решения

Решить комбинаторную задачу.

13.2.1.1. В группе 25 студентов. Сколькими способами можно выбрать старосту, заместителя старосты и профорга?

13.2.1.2. В группе 25 студентов. Сколькими способами можно выбрать актив группы, состоящий из старосты, заместителя старосты и профорга?

13.2.1.3. Сколькими способами можно составить список из 10 человек?

Отв.: 3628800

13.2.1.4. Сколькими способами из 15 рабочих можно создать бригады по 5 человек в каждой?

Отв.: 126126

13.2.1.5. Буквы азбуки Морзе образуются как последовательности точек и тире. Сколько букв можно составить, используя для кодировки каждой из букв: а) ровно 5 символов? б) не более пяти символов?

Отв.: а)32; б) 62

13.2.1.6. Кости для игры в домино метятся двумя цифрами. Кости симметричны, и поэтому порядок чисел не существенен. Сколько различных костей можно образовать, используя числа 0,1,2,3,4,5,6?

13.2.1.7. Сколько различных звукосочетаний можно взять на десяти выбранных клавишах рояля, если каждое звукосочетание может содержать от трех до десяти различных звуков?

Отв.: 9864000

13.2.1.8. В вазе стоят 10 красных и 5 розовых гвоздик. Сколькими способами можно выбрать из вазы пять гвоздик одного цвета?

13.2.1.9. В некоторых странах номера трамвайных маршрутов обозначаются двумя цветными фонарями. Какое количество различных маршрутов можно обозначить, если использовать фонари восьми цветов?

13.2.1.10. Команда компьютера записывается в виде набора из восьми цифровых знаков – нулей и единиц. Каково максимальное количество различных команд?

13.2.1.11. Десять групп занимаются в десяти расположенных подряд аудиториях. Сколько существует вариантов расписания, при которых группы 1 и 2 находились бы в соседних аудиториях?

Отв.: 725760

13.2.1.12. Два почтальона должны разнести 10 писем по 10 адресам. Сколькими способами они могут распределить работу?

13.2.1.13. Замок открывается только в том случае, если набран определенный трехзначный номер. Попытка состоит в том, что набирают наугад три цифры из заданных пяти. Угадать номер удалось только на последней из всех возможных попыток. Сколько попыток предшествовало удачной?

13.2.1.14. Номер автомобильного прицепа состоит из двух букв и четырех цифр. Сколько различных номеров можно составить, используя 30 букв и 10 цифр?

Отв.: 9000000

13.2.1.15. У одного студента есть 7 DVD дисков, а у другого – 9 дисков. Сколькими способами они могут обменять 3 диска одного на 3 диска другого?

Отв.: 105840

13.2.1.16. На вершину горы ведут 7 дорог. Сколькими способами турист может два раза подняться на гору и спуститься с нее, если по одной и той же дороге нельзя проходить дважды?

13.2.1.17. У ювелира было 9 разных драгоценных камней: сапфир, рубин, топаз и т.д. Ювелир планировал изготовить браслет для часов, однако три камня было украдено. Насколько меньше вариантов браслета он может изготовить по сравнению с первоначальными планами?

Отв.: 362160

13.2.1.18. В поезд метро на начальной станции вошли 10 пассажиров. Сколькими способами могут выйти все пассажиры на последующих 6 станциях?

Отв.: 60466176

13.2.1.19. За одним столом надо рассадить 5 мальчиков и 5 девочек так, чтобы не было двух рядом сидящих мальчиков и двух рядом сидящих девочек. Сколькими способами это можно сделать?

13.2.1.20. В классе 25 учеников. Верно ли утверждение, что, по крайней мере, у трех из них день рождения в один и тот же месяц?

13.2.1.21. На участке железной дороги расположено 25 станций с билетной кассой в каждой. Касса каждой станции продает билеты до любой другой станции, притом в обоих направлениях. Сколько различных вариантов билетов можно выдать на этом участке?

13.2.1.22. На официальном приеме 50 человек обменялись рукопожатиями. Сколько было сделано рукопожатий?

13.2.1.23. Сколько диагоналей у выпуклого двадцатиугольника?

Тема непростая, но если вы собираетесь поступать на факультет, где нужны базовые знания высшей математики, освоить материал — must have. Тем более, все формулы по теории вероятности пригодятся не только в универе, но и при решении 4 задания на ЕГЭ. Начнем!

Основные понятия

Французские математики Блез Паскаль и Пьер Ферма анализировали азартные игры и исследовали прогнозы выигрыша. Тогда они заметили первые закономерности случайных событий на примере бросания костей и сформулировали теорию вероятностей.

Когда мы кидаем монетку, то не можем точно сказать, что выпадет: орел или решка.

Но если подкидывать монету много раз — окажется, что каждая сторона выпадает примерно равное количество раз. Из чего можно сформулировать вероятность: 50% на 50%, что выпадет «орел» или «решка».

Теория вероятностей — это раздел математики, который изучает закономерности случайных явлений: случайные события, случайные величины, их свойства и операции над ними.

Вероятность — это степень возможности, что какое-то событие произойдет. Если у нас больше оснований полагать, что что-то скорее произойдет, чем нет — такое событие называют вероятным.

Ну, скажем, смотрим на тучи и понимаем, что дождь — вполне себе вероятное событие. А если светит яркое солнце, то дождь — маловероятное или невероятное событие.

Случайная величина — это величина, которая в результате испытания может принять то или иное значение, причем неизвестно заранее, какое именно. Случайные величины можно разделить на две категории:

Вероятностное пространство — это математическая модель случайного эксперимента (опыта). Вероятностное пространство содержит в себе всю информацию о свойствах случайного эксперимента, которая нужна, чтобы проанализировать его через теорию вероятностей.

Вероятностное пространство — это тройка (Ω, Σ, Ρ) иногда обрамленная угловыми скобками: ⟨ , ⟩ , где

Ω — это множество объектов, которые называют элементарными событиями, исходами или точками.
Σ — сигма-алгебра подмножеств , называемых случайными событиями;
Ρ — вероятностная мера или вероятность, т.е. сигма-аддитивная конечная мера, такая что .

Подготовиться к олимпиаде или вузу и поверить в себя помогут внимательные учителя онлайн-школы Skysmart.

Приходите на бесплатный вводный урок математики: порешаем увлекательные задачки и наметим индивидуальную программу обучения.

Формулы по теории вероятности

Теория вероятности изучает события и их вероятности. Если событие сложное, то его можно разбить на простые составные части — так легче и быстрее найти их вероятности. Рассмотрим основные формулы теории вероятности.

Случайные события. Основные формулы комбинаторики

Классическое определение вероятности

Вероятностью события A в некотором испытании называют отношение:

P (A) = m/n, где n — общее число всех равновозможных, элементарных исходов этого испытания, а m — количество элементарных исходов, благоприятствующих событию A

Вероятность достоверного события равна единице.
Вероятность невозможного события равна нулю.
Вероятность случайного события есть положительное число, заключенное между нулем и единицей.

Таким образом, вероятность любого события удовлетворяет двойному неравенству:

0 ≤ P(A) ≤ 1.

Пример 1. В пакете 15 конфет: 5 с молочным шоколадом и 10 — с горьким. Какова вероятность вынуть из пакета конфету с белым шоколадом?

Так как в пакете нет конфет с белым шоколадом, то m = 0, n = 15. Следовательно, искомая вероятность равна нулю:

Неприятная новость для любителей белого шоколада: в этом примере событие «вынуть конфету с белым шоколадом» — невозможное.

Пример 2. Из колоды в 36 карт вынули одну карту. Какова вероятность появления карты червовой масти?

Количество элементарных исходов, то есть количество карт равно 36 (n). Число случаев, благоприятствующих появлению карты червовой масти (А) равно 9 (m).

Геометрическое определение вероятности

Геометрическая вероятность события А определяется отношением:

P(A)= m(A)/m(G), где m(G) и m(A) — геометрические меры (длины, площади или объемы) всего пространства элементарных исходов G и события А соответственно

Чаще всего, в одномерном случае речь идет о длинах отрезков, в двумерном — о площадях фигур, а в трехмерном — об объемах тел.

Пример. Какова вероятность встречи с другом, если вы договорились встретиться в парке в промежутке с 12.00 до 13.00 и ждете друг друга 5 минут?

A — встреча с другом состоится, х и у — время прихода. Значит:
0 ≤ х, у ≤ 60.
В прямоугольной системе координат этому условию удовлетворяют точки, которые лежат внутри квадрата ОАВС. Друзья встретятся, если между моментами их прихода пройдет не более 5 минут, то есть:

У нас есть отличное онлайн обучение по математике для учеников с 1 по 11 классы, записывайся на пробное занятие!

Сложение и умножение вероятностей

Событие А называется частным случаем события В, если при наступлении А наступает и В. То, что А является частным случаем В можно записать так: A ⊂ B.
События А и В называются равными, если каждое из них является частным случаем другого. Равенство событий А и В записывается так: А = В.
Суммой событий А и В называется событие А + В, которое наступает тогда, когда наступает хотя бы одно из событий: А или В.

Теорема о сложении вероятностей звучит так: вероятность появления одного из двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий:

P(A + B) = P(A) + P(B)

Эта теорема справедлива для любого числа несовместных событий:

Если случайные события A₁, A₂. A_n образуют полную группу несовместных событий, то справедливо равенство:

P(A₁) + P(A₂) + … + P(A_n) = 1. Такие события (гипотезы) используют при решении задач на полную вероятность.

Произведением событий А и В называется событие АВ, которое наступает тогда, когда наступают оба события: А и В одновременно. Случайные события А и B называются совместными, если при данном испытании могут произойти оба эти события.

Вторая теорема о сложении вероятностей: вероятность суммы совместных событий вычисляется по формуле:

P(A + B) = P(A) + P(B) − P(AB)

События событий А и В называются независимыми, если появление одного из них не меняет вероятности появления другого. Событие А называется зависимым от события В, если вероятность события А меняется в зависимости от того, произошло событие В или нет.

Теорема об умножении вероятностей: вероятность произведения независимых событий А и В вычисляется по формуле:

P(AB) = P(A) * P(B)

Пример. Студент разыскивает нужную ему формулу в трех справочниках. Вероятности того, что формула содержится в первом, втором и третьем справочниках равны 0,6; 0,7 и 0,8.

Найдем вероятности того, что формула содержится:

только в одном справочнике;
только в двух справочниках;
во всех трех справочниках.

А — формула содержится в первом справочнике;

В — формула содержится во втором справочнике;

С — формула содержится в третьем справочнике.

Воспользуемся теоремами сложения и умножения вероятностей.

Ответ: 1 — 0,188; 2 — 0,452; 3 — 0,336.

Формула полной вероятности и формула Байеса

Если событие А может произойти только при выполнении одного из событий B₁, B₂, . B_n, которые образуют полную группу несовместных событий — вероятность события А вычисляется по формуле полной вероятности:

Вновь рассмотрим полную группу несовместных событий B₁, B₂, . B_n, вероятности появления которых P(B₁), P(B₂), . P(B_n). Событие А может произойти только вместе с каким-либо из событий B₁, B₂, . B_n, которые называются гипотезами. Тогда по формуле полной вероятности: если событие А произошло — это может изменить вероятности гипотез P(B₁), P(B₂), . P(B_n).

По теореме умножения вероятностей:

Аналогично, для остальных гипотез:

Эта формула называется формулой Байеса. Вероятности гипотез называются апостериорными вероятностями, тогда как — априорными вероятностями.

Пример. Одного из трех стрелков вызывают на линию огня, он производит два выстрела. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле для первого стрелка равна 0,3, для второго — 0,5; для третьего — 0,8. Мишень не поражена. Найти вероятность того, что выстрелы произведены первым стрелком.

Возможны три гипотезы:
- А1 — на линию огня вызван первый стрелок,
- А2 — на линию огня вызван второй стрелок,
- А3 — на линию огня вызван третий стрелок.
Так как вызов на линию огня любого стрелка равно возможен, то
В результате опыта наблюдалось событие В — после произведенных выстрелов мишень не поражена. Условные вероятности этого события при наших гипотезах равны:
По формуле Байеса находим вероятность гипотезы А₁ после опыта:

Формула Бернулли

При решении вероятностных задач часто бывает, что одно и тоже испытание повторяется многократно, и исход каждого испытания независит от исходов других. Такой эксперимент называют схемой повторных независимых испытаний или схемой Бернулли.

Примеры повторных испытаний:

Бросаем игральный кубик, где вероятности выпадения определенной цифры одинаковы в каждом броске.
Включаем лампы с заранее заданной одинаковой вероятностью выхода из строя каждой.
Лучник повторяет выстрелы по одной и той же мишени при условии, что вероятность удачного попадания при каждом выстреле принимается одинаковой.

Итак, пусть в результате испытания возможны два исхода: либо появится событие А, либо противоположное ему событие. Проведем n испытаний Бернулли. Это означает, что все n испытаний независимы. А вероятность появления события А в каждом случае постоянна и не изменяется от испытания к испытанию.

p = P(A), а вероятность противоположного события (событие А не наступило) - буквой q

Биномиальное распределение — распределение числа успехов (появлений события).

Пример. Среди видео, которые снимает блогер, бывает в среднем 4% некачественных: то свет плохой, то звук пропал, то ракурс не самый удачный. Найдем вероятность того, что среди 30 видео два будут нестандартными.

Опыт заключается в проверке каждого из 30 видео на качество. Событие А — это какая-то неудача (свет, ракурс, звук), его вероятность p = 0,04, тогда q = 0,96. Отсюда по формуле Бернулли можно найти ответ:

Ответ: вероятность плохого видео приблизительно 0,202. Блогер молодец🙂

Наивероятнейшее число успехов

Биномиальное распределение ( по схеме Бернулли) помогает узнать, какое число появлений события А наиболее вероятно. Формула для наиболее вероятного числа успехов k (появлений события) выглядит так:

np - q ≤ k ≤ np + p, где q=1−p

Так как np−q = np + p−1, то эти границы отличаются на 1. Поэтому k, являющееся целым числом, может принимать либо одно значение, когда np целое число (k = np), то есть когда np + p (а отсюда и np - q) нецелое число, либо два значения, когда np - q целое число.

Пример. В очень большом секретном чатике сидит 730 человек. Вероятность того, что день рождения наугад взятого участника чата приходится на определенный день года — равна 1/365 для каждого из 365 дней. Найдем наиболее вероятное число счастливчиков, которые родились 1 января.

По условию дано: n = 730, p = 1/365, g = 364/365
np - g = 366/365
np + p = 731/365
366/365 ≤ m ≤ 731/365
m = 2

Формула Пуассона

При большом числе испытаний n и малой вероятности р формулой Бернулли пользоваться неудобно. Например, 0.97 999 вычислить весьма затруднительно.

В этом случае для вычисления вероятности того, что в n испытаниях событие произойдет k раз, используют формулу Пуассона:

Здесь λ = np обозначает среднее число появлений события в n испытаниях.

Эта формула дает удовлетворительное приближение для p ≤ 0,1 и np ≤10.

События, для которых применима формула Пуассона, называют редкими, так как вероятность, что они произойдут — очень мала (обычно порядка 0,001-0,0001).

При больших np рекомендуют применять формулы Лапласа, которую рассмотрим чуть позже.

Пример. В айфоне 1000 разных элементов, которые работают независимо друг от друга. Вероятность отказа любого элемента в течении времени Т равна 0,002. Найти вероятность того, что за время Т откажут ровно три элемента.

По условию дано: n = 1000, p = 0,002, λ = np = 2, k = 3.
Искомая вероятность после подстановки в формулу:

P₁₀₀₀(3) = λ 3 /3! * e −λ = 2 3 /3! * e −2 ≈ 0,18.

Ответ: ориентировочно 0,18.

Теоремы Муавра-Лапласа

Пусть в каждом из n независимых испытаний событие A может произойти с вероятностью p, q = 1 - p (условия схемы Бернулли). Обозначим как и раньше, через P_n(k) вероятность ровно k появлений события А в n испытаниях.

Кроме того, пусть P_n(k₁;k₂) — вероятность того, что число появлений события А находится между k₁ и k₂.

Локальная теорема Лапласа звучит так: если n — велико, а р — отлично от 0 и 1, то

Интегральная теорема Лапласа звучит так: если n — велико, а р — отлично от 0 и 1, то

Функции Гаусса и Лапласа обладают свойствами, которые пригодятся, чтобы правильно пользоваться таблицей значений этих функций:

при больших x верно

Теоремы Лапласа дают удовлетворительное приближение при npq ≥ 9. Причем чем ближе значения q, p к 0,5, тем точнее данные формулы. При маленьких или больших значениях вероятности (близких к 0 или 1) формула дает большую погрешность по сравнению с исходной формулой Бернулли.

Если ребенку наскучила школьная программа и он готов осваивать что-то поинтереснее — приходите в школу Skysmart. Мы подготовили тысячи увлекательных задачек разной сложности, чтобы ребенок развивался в комфортном темпе.

Записывайтесь на бесплатный вводный урок математики и начните заниматься по индивидуальной программе уже завтра.

Для успешной сдачи ЕГЭ нужно знать, как решать задачи на вероятность. Эту тему проходят в школе уже в 8-9 классе. Но многие ученики приходят в тупик при решении этих задач. Для их решения нужно быть очень внимательным и грамотно работать с формулами.

В этой статье разберем задачи по теории вероятностей по принципу от простого к сложному, научимся работать с формулой и разберем особенности решения отдельных типов задач.

Что такое вероятность простыми словами

Вся наша жизнь состоит из случайных событий, которые могут либо произойти, либо нет. Например, вы сегодня идете на экзамен, по которому лучше остальных знаете один билет, достанется он именно вам или нет – случайность. Так как билетов всего 20, а вам нужно вытянуть всего 1, мы можем определить вероятность, с которой вам достанется желаемый билет. Эта вероятность будет составлять 1 шанс к 20 возможным, то есть 1 к 20 или 1/20 или 0,05.

Формула вероятности

Формула для вычисления вероятности события выглядит следующим образом: где P – вероятность события;

n – общее количество вариантов (возможных исходов).

Логично, что число благоприятных исходов всегда меньше, чем общее количество исходов, т.е. меньшее число мы делим на большее. Таким образом вероятность всегда находится в диапазоне от 0 до 1.

Приведем еще пример.

Задача 1

У нас есть пакет, в котором лежит 15 шариков, 9 из которых фиолетового цвета, а остальные белые. Какова вероятность вытащить из пакета один белый шарик?

Решение. Итак, общее количество белых шариков 15 – 9 = 6 штук, следовательно количество благоприятных исходов нашего события – 6. Общее количество возможных исходов – 15. Подставляем в формулу и получаем:

Таким образом, вероятность вытащить белый шарик равна 6/15.

Задачи на вероятность нужно читать внимательно, чтобы не допускать досадных ошибок. Например, вот в такой задаче.

Задача 2

В автомате, продающем, маленькие мячики есть мячи 5 цветов: 21 синих, 30 красных, 15 зеленых, 8 белых, а остальные желтые. Всего в автомате 90 мячиков. Какова вероятность, что Коле достанется мяч не синего цвета.

Решение. Мы обращаем внимание на то, что Коле должен достаться мяч НЕ синего цвета, а любого другого. Многие ученики просто не замечают частицу НЕ и ищут вероятность выпадения именно синего мяча, и естественно допускаю ошибку. Внимательно читаем условия задачи.

Итак, общее количество возможных вариантов – 90. Нам нужен любой мяч, кроме синего. Следовательно, количество вариантов, когда выпадет не синий мяч равно 90 – 21 = 69. Таким образом, вероятность того, что выпадет мячик любого цвета, кроме синего, равна:

Ну и разберем еще задачу.

Задача 3

На конкурсе выступают 11 участников из Казани, 6 участников из Нижнего Новгорода, 3 участника из Москвы и 7 участников из Твери. Порядок выступления в конкурсе определяется жеребьевкой. Какова вероятность того, что последним будем выступать конкурсант из Нижнего Новгорода? Результат округлите до сотых.

Решение. Итак, представим, что все конкурсанты подошли к барабану, где лежат номерки и тянут по одному номерку. Общее количество конкурсантов n = 11 + 6 + 3 + 7 = 27. Нас интересует, какова вероятность того, что один из конкурсантов из Нижнего Новгорода вытянет номерок с цифрой 27. Конкурсантов из Нижнего Новгорода всего 6, следовательно m = 6. Таким образом, вероятность будет равна: Как представить в виде десятичной дроби?

Как решать задачи с перечислением

Этот тип задач отличается от предыдущих лишь тем, что в задаче предметы поименованы. А вычисления выполняются по той же формуле:

Приведем пример такой задачи.

Задача 4

В портфеле у Васи лежали учебники по алгебре, геометрии, химии, биологии и литературе. Вася не глядя вынимает один учебник, какова вероятность того, что он вытянул алгебру?

Решение. Не смотря на то, что теперь предметы поименованы, принцип решения задачи остался прежним. Общее количество вариантов (т.е. учебников в портфеле) – 5. Нужный нам вариант (т.е. учебник по алгебре) – 1. Следовательно, вероятность нужного нам события равна:

Как решать задачи с фиксированными элементами: разбираем на примере

Задачи на вероятность с фиксированными элементами сводятся к стандартным задачам на вероятность, но из элементов m и n нужно вычесть 1.

Давайте разберемся на примере.

Задача 5

Задача 8. В соревнованиях по борьбе участвуют 73 участника. Из них 25 участников из Москвы, в том числе Б. Егоров. На пары участники разбиваются с помощью жеребьевки. Какова вероятность того, что противником Б. Егорова станет участник из Москвы? Результат округлите до сотых.

Решение. В этой задаче есть фиксированный элемент – Б. Егоров. Это фиксированный элемент мы должны вычесть из элементов m и n.

Итак, общее количество участников – 73. Но Б. Егоров у нас уже выбран, поэтому он не участвует в жеребьевке. Следовательно, его мы исключаем из общего количества и получаем n = 72. Нас интересуют только участники из Москвы, их 25. Но опять же Б. Егоров у нас уже выбран, поэтому он не участвует в жеребьевке. Следовательно, количество устраивающих нас вариантов m = 24. А теперь считаем по нашей формуле: Таким образом, вероятность того, что противником Б. Егорова станет участник из Москвы равна 0,33.

Еще раз обратим внимание. Если в задаче есть фиксированный элемент, то мы вычитаем единицу из m и n, а дальше решаем задачу по стандартной формуле нахождения вероятности.

Как решать задачи с двумя кубиками: используем таблицы

Таблицы полезны при решении задач, где речь идет о двух игральных кубиках. Например.

Задача 6

Петя подбросил два игральных кубика. Какова вероятность того, что в сумме выпадет не менее 9 очков.

Решение. Вот в таких задачах удобнее всего построить таблицу. По горизонтали мы размещаем очки, которые могут выпасть на первом кубике, т.е. числа от 1 до 6. А по вертикали мы размещаем числа, которые могут выпасть на втором кубике, т.е. также числа от 1 до 6. Начертим таблицу:

Далее заполняем таблицу. Для этого мы вписываем сумму чисел, которые находятся на пересечении этой ячейки. Например, заполним первую строку. В ячейке на пересечении двух единиц у нас получится 1+1 = 2, далее пересекаются 2 и 1 получаем 2 +1 = 3, далее 3 + 1 = 4, далее 4 + 1 = 5, далее 5 + 1 = 6 и в последней ячейке этой строки получим 6 + 1 = 7 Таким образом, заполняем всю таблицу и получаем: Мы получили таблицу со всеми возможными вариантами выпадения значений двух кубиков и их сумму.

Теперь вернемся к нашей задаче. Нам требовалось найти вероятность того, что на кубиках выпадет сумма не менее 9 очков. Следовательно, отмечаем в таблице значения больше или равные 9: Таким образом, количество вариантов, которые нас устроят (считаем количество обведенных чисел), m = 10

А общее количество возможных вариантов выпадения значений кубиков: n = 6 * 6 = 36

Следовательно, вероятность того, что выпадет тот вариант, который нас устроит, равна: Итак, вероятность того, что на кубиках выпадет сумма не менее 9 очков, равна 0,27.

Задача 7

Маша подбрасывает два игральных кубика. Какова вероятность того, что в сумме на кубиках выпадет 6 очков? Результат округлите до сотых.

Решение. Берем нашу таблицу и находим значения, когда на кубиках сумма составит 6 очков: Итак, количество вариантов, которые нас устроят (считаем количество обведенных чисел), m = 5.

А общее количество возможных вариантов выпадения значений кубиков: n = 6 * 6 = 36

Следовательно, вероятность того, что выпадет тот вариант, который нас устроит, равна: Напомним, чтобы 5/36 перевести в десятичную дробь, необходимо разделить столбиком 5,00000 на 36, в результате чего получим 0,13888. Округляем до сотых и получаем 0,14.

Итак, вероятность того, что на кубиках выпадет сумма 6 очков, равна 0,14.

Независимые события в теории вероятностей

Если вероятность появления одного события не зависит от появления другого события, и наоборот, то такие события называются независимыми.

Если события независимые, то их вероятности перемножаются. В результате этого мы получаем вероятность возникновения этих событий одновременно.

Давайте рассмотрим задачи с независимыми событиями.

Задача 8

Стрелок стреляет 6 раз по мишеням. Вероятность попадания стрелка в мишень при каждом выстреле равна 0,8. Какова вероятность того, что стрелок попадет в мишень все 6 раз подряд? Результат округлите до сотых.

Решение. В задаче происходит 6 независимых событий – 6 выстрелов. Вероятность каждого из них – 0,8. Чтобы найти вероятность возникновения этих независимых событий одновременно необходимо перемножить вероятности этих событий. Таким образом:

Р = 0,8 * 0,8 *0,8 * 0,8 *0,8 * 0,8 = 0,262144

Округляем результат до сотых и получаем 0,26.

Итак, вероятность того, что стрелок попадет в мишень все 6 раз подряд, равна 0,26.

Рассмотрим еще одну задачу, чуть сложнее.

Задача 9

Стрелок стреляет 6 раз по мишеням. Вероятность попадания стрелка в мишень при каждом выстреле равна 0,8. Какова вероятность того, что стрелок первые 2 раза промахнется, а остальные 4 раза попадет в цель? Результат округлите до сотых.

Р = 0,2 * 0,2 * 0,8 * 0,8 * 0,8 * 0,8 = 0,016384

Округляем 0,016384 до сотых и получаем 0,02.

Итак, вероятность того, что стрелок два раза промахнется, а потом четыре раза попадет, равна 0,02.

Число сочетаний из n по m

Задача 10

Маше нужно выбрать из 8 книг 2 книги. Сколькими способами она может это сделать?

Мы понимаем, что здесь может быть большое количество вариантов сочетаний книг. Чтобы вычислить их количество нужно знать формулу числа сочетаний из n по m: где С – это число сочетаний

n – количество элементов, из которого нужно выбрать

m – количество элементов, которое нужно выбрать

В формуле присутствует факториал. Записывается факториал следующим образом: n!, 5!, 7! Напомним, что это такое.

Факториал – это произведение всех натуральных чисел от 1 до основания факториала. Основание факториала – это число, которое стоит перед знаком «!». Т.е. факториал 5! имеет основание 5 и найти его можно следующим образом:

5! = 1 * 2 * 3 * 4 * 5

А факториал n! имеет основание n:

n! = 1 * 2 * 3 * 4 * 5 * … * n

Часто ученики путают, что в ставить внизу, а что наверху, т.е. меняют n и m местами. Применительно к нашей задаче можно перепутать, что ставить наверху: 2 или 8. Запомнить, что ставить наверху, а что внизу – легко. Сверху всегда стоит наименьшее число, т.е. в нашем случае – это 2.

Давайте вернемся к нашей задаче. Применяем формулу и получаем: Обратите внимание, что не нужно умножать в числителе все натуральные числа от 1 до 8, у вас это отнимет очень много времени. Достаточно подробно расписать числитель и знаменатель, сделать сокращение и все легко считается.

Итак, Маша может выбрать книги 28 способами.

Давайте разберем еще одну задачу.

Задача 11

Решение. Применяем нашу формулу:

Ответ: 105 способов

Читайте также: