Сколько существует способов для того чтобы из 15 человек выбрать троих на 3 должности
Опубликовано: 15.05.2024
определения и теоремы, учебная литература, решение задач и примеров
Для решения большинства задач на вероятность (по теории вероятностей) необходимы базовые знание комбинаторики (понятия сочетаний, перестановок, размещений). Ниже представлен ряд задач по комбинаторике, которые являются некой подготовкой к решению задач по теории вероятностей.
Задача 1. (Ниворожкина, Морозова. Основы статистики с элементами теории вероятностей)
Правление коммерческого банка выбирает из 10 кандидатов 3 человек на различные должности (все 10 кандидатов имеют равные шансы). Сколько всевозможных групп по 3 человека можно составить из 10 кандидатов?
В условии задачи речь идет о расчете числа комбинаций из 10 элементов по 3. Так как группы по 3 человека могут отличаться и составом претендентов, и заполняемыми ими вакансиями, т.е. порядком, то для ответа необходимо рассчитать число размещений из 10 элементов по 3:
N = A 3 10 = 10·9·8=720.
Ответ. Можно составить 720 групп по 3 человека из 10.
Задача 2. (Ниворожкина, Морозова. Основы статистики с элементами теории вероятностей)
Правление коммерческого банка выбирает из 10 кандидатов 3 человек на одинаковые должности (все 10 кандидатов имеют равные шансы). Сколько всевозможных групп по 3 человека можно составить из 10 кандидатов?
Состав различных групп должен отличаться по крайней мере хотя бы одним кандидатом и порядок выбора кандидата не имеет значения, следовательно, этот вид соединений представляет собой сочетания. По условию задачи n = 10, m = 3.
Получаем C 3 10 = 10!/3!7! = 120.
Ответ. Можно составить 120 групп из 3 человек по 10.
Задача 3. (Ниворожкина, Морозова. Основы статистики с элементами теории вероятностей)
Сколькими способами можно выбрать 6 пирожных в кондитерской, где есть 4 разных сорта пирожных?
Это случай сочетания с повторениями.
Ответ. Существует 84 различных способа выбора пирожных.
Задача 4. (Ниворожкина, Морозова. Основы статистики с элементами теории вероятностей)
Менеджер ежедневно просматривает 6 изданий экономического содержания. Если порядок просмотра изданий случаен, то сколько существует способов его осуществления?
Способы просмотра изданий различаются только порядком, так как число, а значит, и состав изданий при каждом способе неизменны. Следовательно, при решении этой задачи необходимо рассчитать число перестановок.
По условию задачи n = 6. Следовательно,
Рn = 6! =1·2·3·4·5·6 = 720.
Ответ. Можно просмотреть издания 720 способами.
а) Сколько существует способов составления в случайном порядке списка из 7 кандидатов для выбора на руководящую должность?
б) Какова вероятность того, что кандидаты будут расставлены в списке по возрасту (от меньшего к большему)?
а) Так как порядок случаен, то количество способов равно числу перестановок из 7 человек:
P = 7! = 7 ⋅6⋅5⋅4⋅3⋅2⋅1 = 5040 (способов).
б) в предположении, что у всех кандидатов возрасты различные, то есть не найдется двух и более человек с одинаковым возрастом, количество способов расставить всех кандидатов по возрасту равно 1. Поэтому вероятность равна:
P = 1/5040 = 0,0002.
Ответ: а) 5040; б) 1/5040.
Модельер, разрабатывающий новую коллекцию одежды к весеннему сезону, создает модели в зеленой, черной и красной цветовой гамме. Вероятность того, что зеленый цвет будет в моде весной, модельер оценивает в 0,3, что черный - в 0,2, а вероятность того, что будет моден красный цвет - в 0,15. Предполагая, что цвета выбираются независимо друг от друга, оцените вероятность того, что цветовое решение коллекции будет удачным хотя бы по одному из выбранных цветов?
p1 = 0,3 - вероятность того, что зеленый цвет будет в моде,
p2 = 0,2 - вероятность того, что черный цвет будет в моде,
p3 = 0,15 - вероятность того, что красный цвет будет в моде.
Событие А - цветовое решение удачно хотя бы по одному из выбранных цветов.
Тогда вероятность P(A) будет равна:
P(A) = 1 - q1q2q3 = 1 - (1-p1)(1-p2)(1-p3) = 1-0,7 ⋅0,8⋅0,85 = 0,524.
Добавить комментарий Отменить ответ
Для отправки комментария вам необходимо авторизоваться.
Этот сайт использует Akismet для борьбы со спамом. Узнайте как обрабатываются ваши данные комментариев.
Если в последовательности нет одинаковых элементов, то говорят о размещении без повторений. Их количество
Если в последовательности допускается наличие одинаковых элементов, то говорят о размещении с повторениями. Их количество
Любое подмножество (неупорядоченное), состоящее из k элементов, называется сочетанием из n элементов по k элементов.
Различные сочетания отличаются друг от друга только самими входящими в них элементами, порядок их следования безразличен, т.е. по условию задачи подмножества <1,2>и <2,1>не различны (соединены).
Число сочетаний без повторений
Число сочетаний с повторениями
Количество способов переставить элементов в заданном множестве (количество перестановок) вычисляется по формуле
При решении простейших комбинаторных задач можно использовать следующую таблицу, определяющую число множеств, состоящих из k элементов, отбираемых из множества, содержащего n элементов
| Выбор | Неупорядоченный | Упорядоченный |
| Без повтора | ||
| С повтором |
Рассмотрим разницу между сочетаниями, размещениями с повторениями, без повторений на следующих примерах.
ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
ПРИМЕР 13.2.1 В коробке 6 шаров, пронумерованных от 1 до 6. Из коробки вынимаются друг за другом 3 шара и в этом же порядке записывают полученные цифры. Сколько трехзначных чисел можно таким образом записать?
Решение: По условию задачи подмножества <1;2;3>и <3;1;2>– различные. Повторов в подмножестве быть не может, так как шары не возвращаются в коробку.
ПРИМЕР 13.2.2. В коробке 6 шаров пронумерованных от 1 до 6. Из коробки вынимаются 3 шара и записывают число в порядке возрастания цифр. Сколько трехзначных чисел можно таким образом записать?
Решение: По условию задачи подмножества <1;2;3>и <3;2;1>дают число 123, т.е. не являются различными.
ПРИМЕР 13.2.3. Условие задачи 2.1 (шары возвращаются в коробку)
ПРИМЕР 13.2.4. Условие задачи 2.2 (шары возвращаются в коробку)
ПРИМЕР 13.2.5. Сколько различных перестановок можно составить из букв слова «комар»?
ПРИМЕР 13.2.6. Сколько различных перестановок можно составить из букв слова «задача»?
Решение: Если бы все шесть букв слова были различны, то число перестановок было бы 6! Но буква «а» встречается в данном слове три раза, и перестановки только этих трех букв «а» не дают новых способов расположения букв. Поэтому число перестановок букв слова «задача» будет не 6!, а в 3! раза меньше, то есть .
ПРИМЕР 13.2.7. В мастерской имеется материал 5 цветов. Поступил заказ на пошив флагов, состоящих из трех горизонтальных полос разного цвета каждый. Сколько таких различных флагов может сшить мастерская?
Решение: Флаги отличаются друг от друга как цветом полос, так и их порядком, поэтому разных флагов можно сделать штук.
ПРИМЕР 13.2.8. Сколькими способами можно распределить 5 учеников по 3 параллельным классам?
Решение: Составим вспомогательную таблицу
Таким образом, видно, что если для одного ученика существует 3 варианта выбора класса, то для всех 5 учеников существует способов распределения по классам.
ПРИМЕР 13.2.9. На книжной полке помещается 30 томов. Сколькими способами их можно расставить, чтобы при этом первый и второй том не стояли рядом?
Решение: Произведем рассуждения “от обратного”. Тридцать томов на одной полке можно разместить 30! способами.
Если 1 и 2 тома должны стоять рядом, то число вариантов расстановки сокращается до , т.к. комбинацию из 1 и 2 тома можно считать за один том, но при этом они могут стоять как (1;2) или (2;1), т.е.
Тогда искомое число способов расстановки есть
ПРИМЕР 13.2.10. Чемпионат, в котором участвуют 16 команд, проводится в два круга, т.е. каждая команда дважды встречается с любой другой. Определить, какое количество встреч следует провести.
ПРИМЕР 13.2.11. Автомобильная мастерская имеет для окраски 10 основных цветов. Сколькими способами можно окрасить автомобиль, если смешивать от 3 до 7 основных цветов?
Решение: Составим схему.
Из рисунка видно, что вариантов маршрута из А в B существует 3, и из B в C – 4, т.е. всего маршрутов .
На обратном пути вариантов маршрута из С в B существует 3 (один уже пройден), и из B в А – 2, т.е. всего возможных обратных маршрутов осталось . Тогда всего вариантов маршрута .
ПРИМЕР 13.2.13. Двенадцати ученикам выданы два варианта контрольной работы. Сколькими способами можно посадить учеников в два ряда по 6 человек, чтобы у сидящих рядом не было одинаковых вариантов, а у сидящих друг за другом был один и тот же вариант?
Решение: Рассуждения произведем несколькими способами
I способ) Первоначально 12 учеников разбивают на 2 группы по 6 человек. Это можно сделать способами.
Затем они могут распределиться по своим рядам согласно схеме
Поэтому всего способов распределения учеников будет .
II способ) Первоначально 12 учеников запускают в класс, указывая место, где каждый должен сидеть, например “второй ряд, третье место”. Так как посадочных мест также 12, то всего вариантов распределения 12!
Варианты контрольной работы могут распределиться
“I вариант – I ряд, II вариант – II ряд”
“II вариант – I ряд, I вариант – II ряд”,
Таким образом, всего способов распределения учеников будет .
По приведенным решениям видно, что результаты решений совпадают.
ПРИМЕР 13.2.14. Сколько существует вариантов расположения шести гостей за круглым шестиместным столом?
Решение: Эта задача имеет разные решения и, соответственно разные ответы – в зависимости от того, что понимать под различным расположением гостей за столом. Поэтому исследуем возможные варианты.
Если считать, что нам важно, кто сидит на каком стуле, то это простая задача на перестановки и, следовательно, всего вариантов .
Если же важно не то, кто какой стул занял, а то, кто рядом с кем сидит, то требуется рассмотреть варианты взаимного расположения гостей. В таком случае, расположения гостей, получаемые одно из другого при повороте гостей вокруг стола, фактически являются одинаковыми (смотри рисунок).
В такой постановке вопроса общее число различных вариантов расположений гостей уменьшается вдвое и составляет 60.
Отметим, что каждое решение будет считаться правильным при соответствующей постановке задачи.
ПРИМЕР 13.2.15. Семнадцать студентов сдали экзамены по 4 предметам только на “хорошо” и “отлично”. Верно ли утверждение, что хотя бы у двух из них оценки по экзаменационным предметам совпадают?
Решение: Очевидно, что в данном случае речь идет о возможных вариантах вида
Данный пример можно решить способом, изложенным в примере 13.1.8., и получить количество вариантов . Приведем другой наглядный способ решения, использующий так называемое “дерево решений”,который представляет все варианты (16 штук) получения экзаменационных оценок.
По “дереву решений” видно, что 16 студентов могут сдать экзамены только на “хорошо” и “отлично” так, что их результаты будут отличаться, но если студентов 17, хотя бы одно повторение обязательно будет.
При решении задач комбинаторики используются следующие правила.
Если некоторый объект A может быть выбран из совокупности объектов m способами, а другой объект B может быть выбран nспособами, то:
Правило суммы: выбрать либо A, либо B можно m+n способами.
Правило произведения. Пара объектов (A,B) в указанном порядке может быть выбрана способами.
Примеры и задачи для самостоятельного решения
Решить комбинаторную задачу.
13.2.1.1. В группе 25 студентов. Сколькими способами можно выбрать старосту, заместителя старосты и профорга?
13.2.1.2. В группе 25 студентов. Сколькими способами можно выбрать актив группы, состоящий из старосты, заместителя старосты и профорга?
13.2.1.3. Сколькими способами можно составить список из 10 человек?
Отв.: 3628800
13.2.1.4. Сколькими способами из 15 рабочих можно создать бригады по 5 человек в каждой?
Отв.: 126126
13.2.1.5. Буквы азбуки Морзе образуются как последовательности точек и тире. Сколько букв можно составить, используя для кодировки каждой из букв: а) ровно 5 символов? б) не более пяти символов?
Отв.: а)32; б) 62
13.2.1.6. Кости для игры в домино метятся двумя цифрами. Кости симметричны, и поэтому порядок чисел не существенен. Сколько различных костей можно образовать, используя числа 0,1,2,3,4,5,6?
13.2.1.7. Сколько различных звукосочетаний можно взять на десяти выбранных клавишах рояля, если каждое звукосочетание может содержать от трех до десяти различных звуков?
Отв.: 9864000
13.2.1.8. В вазе стоят 10 красных и 5 розовых гвоздик. Сколькими способами можно выбрать из вазы пять гвоздик одного цвета?
13.2.1.9. В некоторых странах номера трамвайных маршрутов обозначаются двумя цветными фонарями. Какое количество различных маршрутов можно обозначить, если использовать фонари восьми цветов?
13.2.1.10. Команда компьютера записывается в виде набора из восьми цифровых знаков – нулей и единиц. Каково максимальное количество различных команд?
13.2.1.11. Десять групп занимаются в десяти расположенных подряд аудиториях. Сколько существует вариантов расписания, при которых группы 1 и 2 находились бы в соседних аудиториях?
Отв.: 725760
13.2.1.12. Два почтальона должны разнести 10 писем по 10 адресам. Сколькими способами они могут распределить работу?
13.2.1.13. Замок открывается только в том случае, если набран определенный трехзначный номер. Попытка состоит в том, что набирают наугад три цифры из заданных пяти. Угадать номер удалось только на последней из всех возможных попыток. Сколько попыток предшествовало удачной?
13.2.1.14. Номер автомобильного прицепа состоит из двух букв и четырех цифр. Сколько различных номеров можно составить, используя 30 букв и 10 цифр?
Отв.: 9000000
13.2.1.15. У одного студента есть 7 DVD дисков, а у другого – 9 дисков. Сколькими способами они могут обменять 3 диска одного на 3 диска другого?
Отв.: 105840
13.2.1.16. На вершину горы ведут 7 дорог. Сколькими способами турист может два раза подняться на гору и спуститься с нее, если по одной и той же дороге нельзя проходить дважды?
13.2.1.17. У ювелира было 9 разных драгоценных камней: сапфир, рубин, топаз и т.д. Ювелир планировал изготовить браслет для часов, однако три камня было украдено. Насколько меньше вариантов браслета он может изготовить по сравнению с первоначальными планами?
Отв.: 362160
13.2.1.18. В поезд метро на начальной станции вошли 10 пассажиров. Сколькими способами могут выйти все пассажиры на последующих 6 станциях?
Отв.: 60466176
13.2.1.19. За одним столом надо рассадить 5 мальчиков и 5 девочек так, чтобы не было двух рядом сидящих мальчиков и двух рядом сидящих девочек. Сколькими способами это можно сделать?
13.2.1.20. В классе 25 учеников. Верно ли утверждение, что, по крайней мере, у трех из них день рождения в один и тот же месяц?
13.2.1.21. На участке железной дороги расположено 25 станций с билетной кассой в каждой. Касса каждой станции продает билеты до любой другой станции, притом в обоих направлениях. Сколько различных вариантов билетов можно выдать на этом участке?
13.2.1.22. На официальном приеме 50 человек обменялись рукопожатиями. Сколько было сделано рукопожатий?
13.2.1.23. Сколько диагоналей у выпуклого двадцатиугольника?
Пусть имеется множество, состоящее из N Элементов. Обозначим его Un. Перестановкой из N Элементов называется заданный порядок во множестве Un.
1)распределение N различных должностей среди N человек;
2)расположение N различных предметов в одном ряду.
Сколько различных перестановок можно образовать во множестве Un? Число перестановок обозначается Pn (читается Р из N).
Чтобы вывести формулу числа перестановок, представим себе N Ячеек, пронумерованных числами 1,2. N. Все перестановки будем образовывать, располагая элементы Un В этих ячейках. В первую ячейку можно занести любой из N Элементов (иначе: первую ячейку можно заполнить N различными способами). Заполнив первую ячейку, можно N-1 способом заполнить вторую ячейку (иначе: при каждом способе заполнения первой ячейки находится N-1 способов заполнения второй ячейки). Таким образом существует N(N-1) способов заполнения двух первых ячеек. При заполнении первых двух ячеек можно найти N-2 способов заполнения третьей ячейки, откуда получается, что три ячейки можно заполнить N(N-1)(N-2) способами. Продолжая этот процесс, получим, что число способов заполнения N ячеек равно . Отсюда
Pn = N(N - 1)(N - 2). ×3×2×1
Число n(N - 1)(N - 2). ×3×2×1, то есть произведение всех натуральных чисел от 1 до N, называется "N-факториал" и обозначается N!. Отсюда Pn =N!
Пример. .
По определению считается: 1!=1; 0!=1.
Размещениями из N элементов по K элементов будем называть упорядоченные подмножества, состоящие из K элементов, множества Un - (множества, состоящего из N элементов). Число размещений из N элементов по K элементов обозначается (читается "А из N по K").
Примеры задач, приводящих к необходимости подсчета
1) Сколькими способами можно выбрать из 15 человек 5 кандидатов и назначить их на 5 различных должностей?
2) Сколькими способами можно из 20 книг отобрать 12 и расставить их в ряд на полке?
В задачах о размещениях полагается K<N. В случае, если K=N, то легко получить
Для подсчета используем тот же метод, что использовался для подсчета Pn ,только здесь возьмем лишь K ячеек. Первую ячейку можно заполнить N способами, вторую, при заполненной первой, можно заполнить N-1 способами. Можно продолжать этот процесс до заполнения последней K-й ячейки. Эту ячейку при заполненных первых K-1 ячейках можно заполнить N-(K-1) способами (или N-K+1). Таким образом все K ячеек заполняются числом способов, равным
Отсюда получаем:
Пример. Сколько существует различных вариантов выбора 4-х кандидатур из 9-ти специалистов для поездки в 4 различных страны?
Сочетаниями из N элементов по K элементов называются подмножества, состоящие из K элементов множества Un (множества, состоящего из N элементов).
Одно сочетание от другого отличается только составом выбранных элементов (но не порядком их расположения, как у размещений).
Число сочетаний из N элементов по K элементов обозначается (читается "C из N по K").
Примеры задач, приводящих к необходимости подсчета числа сочетаний:
1) Сколькими способами можно из 15 человек выбрать 6 кандидатов для назначения на работу в одинаковых должностях?
2) Сколькими способами можно из 20 книг отобрать 12 книг?
Выведем формулу для подсчета числа сочетаний. Пусть имеется множество Un И нужно образовать упорядоченное подмножество множества Un, содержащее K элементов (то есть образовать размещение). Делаем это так:
1) выделим какие-либо K элементов из N элементов множества Un Это, согласно сказанному выше, можно сделать способами;
2) упорядочим выделенные K элементов, что можно сделать способами. Всего можно получить вариантов (упорядоченных подмножеств), откуда следует: ,то есть
Пример: 6 человек из 15 можно выбрать числом способов, равным
Задачи на подсчет числа подмножеств конечного множества называются комбинаторными. Рассмотрим некоторые комбинаторные задачи.
1.Из семи заводов организация должна выбрать три для размещения трех различных заказов. Сколькими способами можно разместить заказы?
Так как все заводы различны, и из условия ясно, что каждый завод может либо получить один заказ, либо не получить ни одного, здесь нужно считать число размещений
2.Если из текста задачи 1 убрать условие различия трех заказов, сохранив все остальные условия, получим другую задачу. Теперь способ размещения заказов определяется только выбором тройки заводов, так как все эти заводы получат одинаковые заказы, и число вариантов определяется как число сочетаний.
3.Имеются 7 заводов. Сколькими способами организация может разместить на них три различных производственных заказа? (Заказ нельзя дробить, то есть распределять его на несколько заводов).
В отличие от условия первой задачи, здесь организация может отдать все три заказа первому заводу или, например, отдать два заказа второму заводу, а один - седьмому.
Задача решается так. Первый заказ может быть размещен семью различными способами (на первом заводе, на втором и т. д.). Разместив первый заказ, имеем семь вариантов размещения второго (иначе, каждый способ размещения первого заказа может сопровождаться семью способами размещения второго). Таким образом, существует 7×7=49 способов размещения первых двух заказов. Разместив их каким-либо образом, можем найти 7 вариантов размещения третьего (иначе, каждый способ размещения первых двух заказов может сопровождаться семью различными способами распределения третьего заказа). Следовательно, существуют 49×7=73 способов размещения трех заказов. (Если бы заказов было N, то получилось бы 7N способов размещения).
4.Как решать задачу 3, если в ее тексте вместо слов "различных производственных заказа" поставить "одинаковых производственных заказа"?
5.Добавим к условию задачи 1 одну фразу: организация также должна распределить три различных заказа на изготовление деревянных перекрытий среди 4-х лесопилок. Сколькими способами могут быть распределены все заказы?
Каждый из способов распределения заказов на заводах может сопровождаться способами размещения заказов на лесопилках. Общее число возможных способов размещения всех заказов будет равно
Задача 1:
Из класса, в котором учатся 30 человек, нужно выбрать двоих школьников для участия в математической олимпиаде. Сколькими способами это можно сделать?
Решение:
Задача 2:
Сколькими способами можно выбрать команду из трех школьников в классе, в котором учатся 30 человек?
Решение:
Задача 3:
Сколькими способами можно выбрать 4 краски из имеющихся 7 различных?
Решение:
Задача 4:
У одного школьника есть 6 книг по математике, а у другого – 8. Сколькими способами они могут обменять три книги одного на три книги другого?
Решение:
Первый школьник может выбрать 3 книги для обмена способами, второй – способами. Таким образом, число возможных обменов равно .
Задача 5:
В шахматном кружке занимаются 2 девочки и 7 мальчиков. Для участия в соревновании необходимо составить команду из четырех человек, в которую обязательно должна входить хотя бы одна девочка. Сколькими способами это можно сделать?
Решение:
В команду входит либо одна девочка, либо две. Разберем оба случая. Если в команде две девочки, то двух мальчиков к ним можно добавить способами. Если же в команду входит только одна девочка (ее можно выбрать двумя способами), то команду можно дополнить тремя мальчиками различными способами. Таким образом, общее число возможных команд равно .
Задача 6:
Сколькими способами можно разбить 10 человек на две баскетбольные команды по 5 человек в каждой?
Решение:
Первую команду можно выбрать способами. Этот выбор полностью определяет вторую команду. Однако при таком подсчете каждая пара команд А и В учитывается дважды: один раз, когда в качестве первой команды выбирается команда А, и второй, – когда в качестве первой команды выбирается команда В. Таким образом, ответ: .
Задача 7:
На плоскости отмечено 10 точек так, что никакие три из них не лежат на одной прямой. Сколько существует треугольников с вершинами в этих точках?
Решение:
Задача 8:
Рота состоит из трех офицеров, шести сержантов и 60 рядовых. Сколькими способами можно выделить из них отряд, состоящий из офицера, двух сержантов и 20 рядовых?
Решение:
(n 8 + 1)(n 8 – 1) = n 16 – 1 = 0 (mod 17).
Задача 9:
На прямой отмечено 10 точек, а на параллельной ей прямой – 11 точек. Сколько существует а) треугольников; б) четырехугольников с вершинами в этих точках?
Решение:
Задача 10:
Сколькими способами можно выбрать из 15 различных слов набор, состоящий не более чем из 5 слов?
Решение:
Задача 11:
Сколькими способами можно составить комиссию из 3 человек, выбирая ее членов из 4 супружеских пар, но так, чтобы члены одной семьи не входили в комиссию одновременно?
Решение:
Выберите сначала семьи, а потом в каждой паре конкретного представителя. Ответ: .
Задача 12:
В классе, в котором учатся Петя и Ваня – 31 человек. Сколькими способами можно выбрать из класса футбольную команду (11 человек) так, чтобы Петя и Ваня не входили в команду одновременно?
Решение:
Разберите три случая: в команду входит только Петя; в команду входит только Ваня; оба они в команду не входят. Ответ: .
Задача 13:
Решение:
Все определяется местами, на которых стоят гласные буквы. Ответ: .
Задача 14:
Из 12 девушек и 10 юношей выбирают команду, состоящую из пяти человек. Сколькими способами можно выбрать эту команду так, чтобы в нее вошло не более трех юношей?
Решение:
Задача 15:
Сколькими способами можно расставить 12 белых и 12 черных шашек на черных полях шахматной доски?
Решение:
Задача 16:
а) Сколькими способами можно разбить 15 человек на три команды по 5 человек в каждой?
б) Сколькими способами можно выбрать из 15 человек две команды по 5 человек в каждой?
Решение:
Задача 17:
Сколькими способами можно выбрать из полной колоды (52 карты) 10 карт так, чтобы
а) среди них был ровно один туз?
б) среди них был хотя бы один туз?
Решение:
а) ; б) Перейдите к дополнению. Ответ: .
Задача 18:
Сколько существует 6-значных чисел, у которых по три четных и нечетных цифры?
Решение:
Разберите случаи в соответствии с тем, цифра какой четности стоит на первом месте. Затем в каждом случае выберите места для нечетных цифр. Ответ: .
Задача 19:
Сколько существует 10-значных чисел, сумма цифр которых равна а) 2; б) 3; в) 4?
Решение:
Разберите все возможные представления чисел 2, 3, 4 в виде суммы нескольких натуральных слагаемых. Не забывайте, что первая цифра – не ноль. Ответ: а) 10; б) ; в) .
Задача 20:
Человек имеет 6 друзей и в течение 5 дней приглашает к себе в гости каких-то троих из них так, чтобы компания ни разу не повторялась. Сколькими способами он может это сделать?
Решение:
Задача 21:
б) После тиража организаторы лотереи решили подсчитать, каково число возможных вариантов заполнения карточки, при которых могло быть угадано ровно три номера. Помогите им в этом подсчете.
Комбинаторика – раздел математики, который изучает задачи выбора и расположения элементов из некоторого основного множества в соответствии с заданными правилами. Формулы и принципы комбинаторики используются в теории вероятностей для подсчета вероятности случайных событий и, соответственно, получения законов распределения случайных величин. Это, в свою очередь, позволяет исследовать закономерности массовых случайных явлений, что является весьма важным для правильного понимания статистических закономерностей, проявляющихся в природе и технике.
Правила сложения и умножения в комбинаторике
Правило суммы. Если два действия А и В взаимно исключают друг друга, причем действие А можно выполнить m способами, а В – n способами, то выполнить одно любое из этих действий (либо А, либо В) можно n + m способами.
Пример 1.
В классе учится 16 мальчиков и 10 девочек. Сколькими способами можно назначить одного дежурного?
Дежурным можно назначить либо мальчика, либо девочку, т.е. дежурным может быть любой из 16 мальчиков, либо любая из 10 девочек.
По правилу суммы получаем, что одного дежурного можно назначить 16+10=26 способами.
Правило произведения. Пусть требуется выполнить последовательно k действий. Если первое действие можно выполнить n1 способами, второе действие n2 способами, третье – n3 способами и так до k-го действия, которое можно выполнить nk способами, то все k действий вместе могут быть выполнены:
Пример 2.
В классе учится 16 мальчиков и 10 девочек. Сколькими способами можно назначить двух дежурных?
Первым дежурным можно назначить либо мальчика, либо девочку. Т.к. в классе учится 16 мальчиков и 10 девочек, то назначить первого дежурного можно 16+10=26 способами.
После того, как мы выбрали первого дежурного, второго мы можем выбрать из оставшихся 25 человек, т.е. 25-ю способами.
По теореме умножения двое дежурных могут быть выбраны 26*25=650 способами.
Сочетания без повторений. Сочетания с повторениями
Классической задачей комбинаторики является задача о числе сочетаний без повторений, содержание которой можно выразить вопросом: сколькими способами можно выбрать m из n различных предметов ?
Пример 3.
Необходимо выбрать в подарок 4 из 10 имеющихся различных книг. Сколькими способами можно это сделать?
Нам из 10 книг нужно выбрать 4, причем порядок выбора не имеет значения. Таким образом, нужно найти число сочетаний из 10 элементов по 4:
.
Рассмотрим задачу о числе сочетаний с повторениями: имеется по r одинаковых предметов каждого из n различных типов; сколькими способами можно выбрать m ( ) из этих (n*r) предметов?
.
Пример 4.
В кондитерском магазине продавались 4 сорта пирожных: наполеоны, эклеры, песочные и слоеные. Сколькими способами можно купить 7 пирожных?
Т.к. среди 7 пирожных могут быть пирожные одного сорта, то число способов, которыми можно купить 7 пирожных, определяется числом сочетаний с повторениями из 7 по 4.
.
Размещения без повторений. Размещения с повторениями
Классической задачей комбинаторики является задача о числе размещений без повторений, содержание которой можно выразить вопросом: сколькими способами можно выбрать и разместить по m различным местам m из n различных предметов?
Пример 5.
В некоторой газете 12 страниц. Необходимо на страницах этой газеты поместить четыре фотографии. Сколькими способами можно это сделать, если ни одна страница газеты не должна содержать более одной фотографии?
В данной задаче мы не просто выбираем фотографии, а размещаем их на определенных страницах газеты, причем каждая страница газеты должна содержать не более одной фотографии. Таким образом, задача сводится к классической задаче об определении числа размещений без повторений из 12 элементов по 4 элемента:
Таким образом, 4 фотографии на 12 страницах можно расположить 11880 способами.
Также классической задачей комбинаторики является задача о числе размещений с повторениями, содержание которой можно выразить вопросом: сколькими способами можно выбрать и разместить по m различным местам m из n предметов, среди которых есть одинаковые?
Пример 6.
У мальчика остались от набора для настольной игры штампы с цифрами 1, 3 и 7. Он решил с помощью этих штампов нанести на все книги пятизначные номера– составить каталог. Сколько различных пятизначных номеров может составить мальчик?
Можно считать, что опыт состоит в 5-кратном выборе с возращением одной из 3 цифр (1, 3, 7). Таким образом, число пятизначных номеров определяется числом размещений с повторениями из 3 элементов по 5:
.
Перестановки без повторений. Перестановки с повторениями
Классической задачей комбинаторики является задача о числе перестановок без повторения, содержание которой можно выразить вопросом: сколькими способами можно разместить n различных предметов на n различных местах?
Пример 7.
Сколько можно составить четырехбуквенных «слов» из букв слова«брак»?
Генеральной совокупностью являются 4 буквы слова «брак» (б, р, а, к). Число «слов» определяется перестановками этих 4 букв, т. е.
Для случая, когда среди выбираемых n элементов есть одинаковые (выборка с возвращением), задачу о числе перестановок с повторениями можно выразить вопросом: сколькими способами можно переставить n предметов, расположенных на n различных местах, если среди n предметов имеются k различных типов (k < n), т. е. есть одинаковые предметы.
Пример 8.
Сколько разных буквосочетаний можно сделать из букв слова «Миссисипи»?
Здесь 1 буква «м», 4 буквы «и», 3 буквы «c» и 1 буква «п», всего 9 букв. Следовательно, число перестановок с повторениями равно
Читайте также: